મર્યાદા અને સતતતા (Limits and Continuity)

મર્યાદા અને સતતતા એ ગણિતના મહત્વના વિષયો છે. મર્યાદા તે સમયે ઉપયોગી થાય છે જ્યારે આપણે ગણવા ઈચ્છીએ છીએ કે કોઈ ફંક્શન કોઈ બિંદુ પાસે કેવી રીતે વર્તે છે, પણ કદાચ તે બિંદુ પર સ્વયં તે ફંક્શન વ્યવહારિક ન હોય. સતતતા એ સમય છે જ્યારે ફંક્શન પોતાનું મૂલ્ય ધરાવે છે અને તે બિંદુની નજીકના બધા મૂલ્યોમાં તેને લગતું રહે છે.

મર્યાદા (Limits):

અમે $f(x)$ નું $x\to a$ (અથવા $x$ જ્યારે $a$ ની તરફ પ્રવૃત્ત થાય છે) પરનું મર્યાદા જોઈ રહ્યા છીએ. આ દર્શાવે છે કે $x$ જ્યારે $a$ ની નજીક જાય છે ત્યારે $f(x)$ નું મૂલ્ય શું થાય છે.

મર્યાદા એવા સમયે આવકારવામાં આવે છે જ્યારે $f(x)$ $x=a$ પર વ્યાખ્યાયિત ન હોય, અથવા $a$ ને એક ચોક્કસ મૂલ્ય અપનાવવું પડે છે.

સતતતા (Continuity):

કોઈ પણ ફંક્શન $f(x)$ “સતત” કહેવાય છે જો $f(x)$ $x=a$ પર વ્યાખ્યાયિત હોય, અને $x$ $a$ તરફ પ્રયાણ કરે ત્યારે ફંક્શનનું મૂલ્ય મર્યાદા અનુસાર રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈ ઉછાળાનો અભાવ છે.

મર્યાદા અને સતતતા માટેની મુખ્ય નિયમો:

1. મર્યાદા જોડણી નિયમ:
   જો $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ અને $\underset{x\to a}{lim}g(x)$ બંને મર્યાદા અસ્તિત્વ ધરાવે છે, તો
   $\underset{x\to a}{lim}[f(x)+g(x)]=\underset{x\to a}{lim}f(x)+\underset{x\to a}{lim}g(x)$.
2. મર્યાદા ગુણાકાર નિયમ:
   $\underset{x\to a}{lim}[f(x)\cdot g(x)]=\underset{x\to a}{lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{lim}g(x)$.
3. મર્યાદા વિભાજન નિયમ:
   જો $\underset{x\to a}{lim}g(x)\ne 0$, તો
   $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}f(x)}{\underset{x\to a}{lim}g(x)}$.
4. મર્યાદા પાવર નિયમ:
   $\underset{x\to a}{lim}[f(x){]}^n={(\underset{x\to a}{lim}f(x))}^n$, જ્યાં $n$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે.

ઉદાહરણો: મર્યાદા અને સતતતા

---

ઉદાહરણ 1:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}(3x^2+5)$

પગથિયું 1:
મર્યાદાના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,
$\underset{x\to 2}{lim}(3x^2+5)=3\cdot \underset{x\to 2}{lim}{x}^2+\underset{x\to 2}{lim}5$

પગથિયું 2:
મર્યાદા મૂલ્યો શોધો,
$\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=(2{)}^2=4$
અને
$\underset{x\to 2}{lim}5=5$

પગથિયું 3:
આમ,
$\underset{x\to 2}{lim}(3x^2+5)=3\cdot 4+5=12+5=17$

ઉકેલ:
મર્યાદા $17$ છે.

---

ઉદાહરણ 2:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા નિયમ પ્રમાણે,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 3:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 3}{lim}(x^3–2x+4)$

પગથિયું 1:
મર્યાદાના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,
$\underset{x\to 3}{lim}(x^3–2x+4)=\underset{x\to 3}{lim}{x}^3–\underset{x\to 3}{lim}2x+\underset{x\to 3}{lim}4$

પગથિયું 2:
મર્યાદા મૂલ્યો શોધો,
$\underset{x\to 3}{lim}{x}^3=(3{)}^3=27$,
$\underset{x\to 3}{lim}2x=2\cdot 3=6$,
અને
$\underset{x\to 3}{lim}4=4$

પગથિયું 3:
આમ,
$\underset{x\to 3}{lim}(x^3–2x+4)=27–6+4=25$

ઉકેલ:
મર્યાદા $25$ છે.

---

ઉદાહરણ 4:

સતતતા ચકાસો:
$f(x)=2x+1$
સતત છે કે નહીં $x=1$ પર.

પગથિયું 1:
$f(1)=2(1)+1=3$

પગથિયું 2:
મર્યાદા $\underset{x\to 1}{lim}f(x)$ શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(2x+1)=2(1)+1=3$

પગથિયું 3:
જોકે $f(1)=\underset{x\to 1}{lim}f(x)$,
આ અર્થ છે કે $f(x)$ $x=1$ પર सतત છે.

ઉકેલ:
$f(x)=2x+1$ $x=1$ પર સતત છે.

---

ઉદાહરણ 5:

સતતતા ચકાસો:
$f(x)=\frac{x^2–1}{x–1}$
સતત છે કે નહીં $x=1$ પર.

પગથિયું 1:
$f(x)$ આકાર બદલાવી શકાય છે:
$f(x)=\frac{(x–1)(x+1)}{x–1}=x+1$, જ્યાં $x\ne 1$

પગથિયું 2:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x+1)=1+1=2$

પગથિયું 3:
$f(1)$ વ્યાખ્યાયિત નથી, કારણ કે $f(x)=\frac{0}{0}$ થાય છે.

ઉકેલ:
$f(x)$ $x=1$ પર સતત નથી, કારણ કે $f(1)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.

---

ઉદાહરણ 6:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+5x}{3x^2–4}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+5x}{3x^2–4}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2}{3x^2}=\frac{2}{3}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{2}{3}$ છે.

---

ઉદાહરણ 7:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^3+4}{2x^3–x+1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^3+4}{2x^3–x+1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^3}{2x^3}=\frac{5}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{5}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 8:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^2–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
હવે $x–1$ $x=1$ સિવાયના મૂલ્યો માટે સમાપ્ત થાય છે:
$\frac{(x–1)(x+1)}{x–1}=x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}(x+1)=0+1=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 9:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 4}{lim}\frac{x^2–16}{x–4}$

પગથિયું 1:
$x^2–16$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–16}{x–4}=\frac{(x–4)(x+4)}{x–4}$

પગથિયું 2:
હવે $x–4$ સમાપ્ત થાય છે:
$\frac{(x–4)(x+4)}{x–4}=x+4$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 4}{lim}(x+4)=4+4=8$

ઉકેલ:
મર્યાદા $8$ છે.

---

ઉદાહરણ 10:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -2}{lim}\frac{x^2+3x+2}{x+2}$

પગથિયું 1:
$x^2+3x+2$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2+3x+2}{x+2}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+2}$

પગથિયું 2:
હવે $x+2$ સમાપ્ત થાય છે:
$\frac{(x+1)(x+2)}{x+2}=x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -2}{lim}(x+1)=-2+1=-1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $-1$ છે.

---

ઉદાહરણ 11:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^3–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^3–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x^2+x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
હવે $x–1$ સમાપ્ત થાય છે:
$\frac{(x–1)(x^2+x+1)}{x–1}=x^2+x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x^2+x+1)=1^2+1+1=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 12:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^3+1}{x+1}$

પગથિયું 1:
$x^3+1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3+1}{x+1}=\frac{(x+1)(x^2–x+1)}{x+1}$

પગથિયું 2:
હવે $x+1$ સમાપ્ત થાય છે:
$\frac{(x+1)(x^2–x+1)}{x+1}=x^2–x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -1}{lim}(x^2–x+1)=(-1{)}^2–(-1)+1=1+1+1=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 13:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2–4x}{x–2}$

પગથિયું 1:
$x^2–4x$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–4x}{x–2}=\frac{x(x–4)}{x–2}$

પગથિયું 2:
હવે $x–2$ સમાપ્ત થાય છે:
$x+4=6$

ઉકેલ:
મર્યાદા $6$

---

ઉદાહરણ 14:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2–9}{x–3}$

પગથિયું 1:
$x^2–9$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–9}{x–3}=\frac{(x–3)(x+3)}{x–3}$

પગથિયું 2:
હવે $x–3$ સમાપ્ત થાય છે:
$\frac{(x–3)(x+3)}{x–3}=x+3$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 3}{lim}(x+3)=3+3=6$

ઉકેલ:
મર્યાદા $6$ છે.

---

ઉદાહરણ 15:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^4–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^4–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^4–1}{x–1}=\frac{(x^2–1)(x^2+1)}{x–1}=\frac{(x–1)(x+1)(x^2+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
હવે $x–1$ સમાપ્ત થાય છે:
$\frac{(x–1)(x+1)(x^2+1)}{x–1}=(x+1)(x^2+1)$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x+1)(x^2+1)=(1+1)(1^2+1)=2\cdot 2=4$

ઉકેલ:
મર્યાદા $4$ છે.

---

ઉદાહરણ 16:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1–\cos (x)}{x^2}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિનો મર્યાદા નિયમ લાગુ કરો.
અમે જાણીએ છીએ કે $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1–\cos (x)}{x^2}=\frac{1}{2}$.

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{1}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 17:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^3–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^3–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x^2+x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
હવે $x–1$ સમાપ્ત થાય છે:
$\frac{(x–1)(x^2+x+1)}{x–1}=x^2+x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x^2+x+1)=1^2+1+1=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 18:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2+2x+1}{x^2–x+1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક નિયમ લાગુ કરો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2+2x+1}{x^2–x+1}=\frac{3}{1}=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 19:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^3+4}{3x^3–2x+1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતકનો ઉપયોગ કરો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^3+4}{3x^3–2x+1}=\frac{5}{3}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{5}{3}$ છે.

---

ઉદાહરણ 20:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (2x)}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા નિયમ પ્રમાણે:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (2x)}{x}=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 21:

મર્યાદા શોધો:
$ \lim_{x \to \infty

ઉદાહરણ 21:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2–9}{x–3}$

પગથિયું 1:
આમ તો, $\frac{x^2–9}{x–3}=\frac{(x–3)(x+3)}{x–3}$.
$x–3$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x+3$, જ્યાં $x\ne 3$

પગથિયું 2:
હવે $x=3$ substitute કરો,
$\underset{x\to 3}{lim}(x+3)=3+3=6$

ઉકેલ:
મર્યાદા $6$ છે.

---

ઉદાહરણ 22:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^2+3x}{2x^2+4}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^2}{2x^2}=\frac{5}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{5}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 23:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3–4x}{2x^3+x}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{1}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 24:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{e^x–1}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના નિયમો અને લોપીટાલના નિયમો અનુસાર,
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{e^x–1}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 25:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{1–x^2}{1–x}$

પગથિયું 1:
આમ તો, $\frac{1–x^2}{1–x}=\frac{(1–x)(1+x)}{1–x}$.
$1–x$ રદ થાય છે, એટલે બાકી રહે છે $1+x$

પગથિયું 2:
હવે $x=1$ substitute કરો,
$\underset{x\to 1}{lim}(1+x)=1+1=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 26:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x^3+x}{x^3–5x}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x^3}{x^3}=6$

ઉકેલ:
મર્યાદા $6$ છે.

---

ઉદાહરણ 27:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x–2}{x^2–4}$

પગથિયું 1:
આમ તો, $\frac{x–2}{x^2–4}=\frac{x–2}{(x–2)(x+2)}$.
$x–2$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $\frac{1}{x+2}$, જ્યાં $x\ne 2$

પગથિયું 2:
હવે $x=2$ substitute કરો,
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{1}{4}$ છે.

---

ઉદાહરણ 28:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}$

પગથિયું 1:
જેમ જેમ $x\to 0^{+}$, $\frac{1}{x}\to \mathrm{\infty }$.

ઉકેલ:
મર્યાદા $\mathrm{\infty }$ છે.

---

ઉદાહરણ 29:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{1}{x–1}$

પગથિયું 1:
જેમ જેમ $x\to 1^{-}$, $\frac{1}{x–1}\to -\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
મર્યાદા $-\mathrm{\infty }$ છે.

---

ઉદાહરણ 30:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}$

પગથિયું 1:
જેમ તેમ $x\to 0^{-}$, $\frac{1}{x}\to -\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
મર્યાદા $-\mathrm{\infty }$ છે.

---

ઉદાહરણ 31:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા નિયમ પ્રમાણે,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(x)}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 32:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+3}{5x^2+7}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2}{5x^2}=\frac{2}{5}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{2}{5}$ છે.

---

ઉદાહરણ 33:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+2x}{3x^3–x}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3}{3x^3}=\frac{1}{3}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{1}{3}$ છે.

---

ઉદાહરણ 34:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1–\cos (x)}{x^2}$

પગથિયું 1:
અમે જાણીએ છીએ કે $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1–\cos (x)}{x^2}=\frac{1}{2}$, જે ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા પર આધારિત છે.

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{1}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 35:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^2–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
$x–1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x+1)=1+1=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 36:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^3–2x+1}{2x^3+x^2–3}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^3}{2x^3}=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 37:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2–5x}{x^2+3x+1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x^2}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 38:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\log (x)}{x}$

પગથિયું 1:
જેમ જેમ $x\to 0^{+}$, $\log (x)\to -\mathrm{\infty }$ અને $x\to 0^{+}$,
તેથી $\frac{\log (x)}{x}\to -\mathrm{\infty }$.

ઉકેલ:
મર્યાદા $-\mathrm{\infty }$ છે.

---

ઉદાહરણ 39:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}$

પગથિયું 1:
લોપીટાલનો નિયમ લાગુ કરો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 40:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (3x)}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા નિયમ પ્રમાણે,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (3x)}{x}=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 41:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan (x)}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા નિયમ મુજબ,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan (x)}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 42:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^3–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^3–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x^2+x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
$x–1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x^2+x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x^2+x+1)=1^2+1+1=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 43:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^4–3x}{2x^4+x^2}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^4}{2x^4}=\frac{5}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{5}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 44:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+3x+5}{2x^2+7x+1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{1}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 45:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2–1}{x+1}$

પગથિયું 1:
$x^2–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–1}{x+1}=\frac{(x+1)(x–1)}{x+1}$

પગથિયું 2:
$x+1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x–1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -1}{lim}(x–1)=-1–1=-2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $-2$ છે.

---

ઉદાહરણ 46:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\log (x)}{x}$

પગથિયું 1:
જેમ તેમ $x\to \mathrm{\infty }$, $\frac{\log (x)}{x}\to 0$,
કેમ કે $x$ વધુ ઝડપથી વધે છે.

ઉકેલ:
મર્યાદા $0$ છે.

---

ઉદાહરણ 47:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}$

પગથિયું 1:
લોપિટલના નિયમ અનુસાર,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 48:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2–4}{x–2}$

પગથિયું 1:
$x^2–4$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–4}{x–2}=\frac{(x–2)(x+2)}{x–2}$

પગથિયું 2:
$x–2$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x+2$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}(x+2)=2+2=4$

ઉકેલ:
મર્યાદા $4$ છે.

---

ઉદાહરણ 49:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+2x}{2x^3+4}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{1}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 50:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^4–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^4–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^4–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x^3+x^2+x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
$x–1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x^3+x^2+x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x^3+x^2+x+1)=1^3+1^2+1+1=4$

ઉકેલ:
મર્યાદા $4$ છે.

---

ઉદાહરણ 51:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3–8}{x–2}$

પગથિયું 1:
$x^3–8$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3–8}{x–2}=\frac{(x–2)(x^2+2x+4)}{x–2}$

પગથિયું 2:
$x–2$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x^2+2x+4$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}(x^2+2x+4)=2^2+2\cdot 2+4=4+4+4=12$

ઉકેલ:
મર્યાદા $12$ છે.

---

ઉદાહરણ 52:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{7x^4+3x}{3x^4–5x^2+2}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{7x^4}{3x^4}=\frac{7}{3}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{7}{3}$ છે.

---

ઉદાહરણ 53:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1–\cos (x)}{x^2}$

પગથિયું 1:
અમે જાણીએ છીએ કે $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1–\cos (x)}{x^2}=\frac{1}{2}$, ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા પર આધારિત.

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{1}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 54:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2–1}{x+1}$

પગથિયું 1:
$x^2–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–1}{x+1}=\frac{(x–1)(x+1)}{x+1}$

પગથિયું 2:
$x+1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x–1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -1}{lim}(x–1)=-1–1=-2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $-2$ છે.

---

ઉદાહરણ 55:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\log (x)}{x}$

પગથિયું 1:
જેમ તેમ $x\to \mathrm{\infty }$, $\frac{\log (x)}{x}\to 0$,
કેમ કે $x$ વધુ ઝડપથી વધે છે.

ઉકેલ:
મર્યાદા $0$ છે.

---

ઉદાહરણ 56:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^4–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^4–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^4–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x^3+x^2+x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
$x–1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x^3+x^2+x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x^3+x^2+x+1)=1^3+1^2+1+1=4$

ઉકેલ:
મર્યાદા $4$ છે.

---

ઉદાહરણ 57:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+5x}{x^2+x+1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2}{x^2}=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 58:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}$

પગથિયું 1:
લોપિટલના નિયમ અનુસાર,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 59:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\log (x)}{x}$

પગથિયું 1:
જેમ જેમ $x\to 0^{+}$, $\log (x)\to -\mathrm{\infty }$ અને $x\to 0^{+}$,
તેથી $\frac{\log (x)}{x}\to -\mathrm{\infty }$.

ઉકેલ:
મર્યાદા $-\mathrm{\infty }$ છે.

---

ઉદાહરણ 60:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}$

પગથિયું 1:
જેમ તેમ $x\to 0^{-}$, $\frac{1}{x}\to -\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
મર્યાદા $-\mathrm{\infty }$ છે.

---

ઉદાહરણ 61:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^2–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
$x–1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x+1)=1+1=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 62:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^2+x}{x^2–2x+3}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^2}{x^2}=4$

ઉકેલ:
મર્યાદા $4$ છે.

---

ઉદાહરણ 63:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (2x)}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા નિયમ મુજબ,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (2x)}{x}=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 64:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^3+2x}{2x^3–5x+1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^3}{2x^3}=\frac{3}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{3}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 65:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}$

પગથિયું 1:
જેમ તેમ $x\to 0^{+}$, $\frac{1}{x}\to \mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\mathrm{\infty }$ છે.

---

ઉદાહરણ 66:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+2}{x–1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 67:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x)}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા નિયમ મુજબ,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x)}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 68:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^2+3}{2x^2–x+1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^2}{2x^2}=\frac{5}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{5}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 69:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3–8}{x–2}$

પગથિયું 1:
$x^3–8$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3–8}{x–2}=\frac{(x–2)(x^2+2x+4)}{x–2}$

પગથિયું 2:
$x–2$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x^2+2x+4$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}(x^2+2x+4)=2^2+2(2)+4=4+4+4=12$

ઉકેલ:
મર્યાદા $12$ છે.

---

ઉદાહરણ 70:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}$

પગથિયું 1:
લોપિટલના નિયમ મુજબ,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 71:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2–3x}{2x^2+x}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{1}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 72:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2–9}{x–3}$

પગથિયું 1:
$x^2–9$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–9}{x–3}=\frac{(x–3)(x+3)}{x–3}$

પગથિયું 2:
$x–3$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x+3$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 3}{lim}(x+3)=3+3=6$

ઉકેલ:
મર્યાદા $6$ છે.

---

ઉદાહરણ 73:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2+4x}{2x^2+5}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2}{2x^2}=\frac{3}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{3}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 74:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^3–x}{x^3+2x}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^3}{x^3}=5$

ઉકેલ:
મર્યાદા $5$ છે.

---

ઉદાહરણ 75:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}$

પગથિયું 1:
લોપિટલના નિયમ મુજબ,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 76:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+2}{x–1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 77:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\log (x)}{x}$

પગથિયું 1:
જેમ જેમ $x\to 0^{+}$, $\log (x)\to -\mathrm{\infty }$ અને $x\to 0^{+}$,
તેથી $\frac{\log (x)}{x}\to -\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
મર્યાદા $-\mathrm{\infty }$ છે.

---

ઉદાહરણ 78:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^3–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^3–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x^2+x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
$x–1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x^2+x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x^2+x+1)=1^2+1+1=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 79:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^3+x}{x^3–x^2}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^3}{x^3}=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 80:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(2x)}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા નિયમ મુજબ,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sin(2x)}{x}=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 81:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^2+3}{2x^2+x}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^2}{2x^2}=\frac{5}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{5}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 82:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2–4}{x–2}$

પગથિયું 1:
$x^2–4$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–4}{x–2}=\frac{(x–2)(x+2)}{x–2}$

પગથિયું 2:
$x–2$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x+2$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}(x+2)=2+2=4$

ઉકેલ:
મર્યાદા $4$ છે.

---

ઉદાહરણ 83:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^2–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
$x–1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x+1)=1+1=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 84:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x^3–5x}{2x^3+3}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x^3}{2x^3}=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 85:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^2+3x}{x^2–2x}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^2}{x^2}=4$

ઉકેલ:
મર્યાદા $4$ છે.

---

ઉદાહરણ 86:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^3–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^3–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x^2+x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
$x–1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x^2+x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x^2+x+1)=1^2+1+1=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 87:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+3}{x^2–1}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x^2}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 88:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}$

પગથિયું 1:
લોપિટલના નિયમ મુજબ,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x–1}{x}=1$

ઉકેલ:
મર્યાદા $1$ છે.

---

ઉદાહરણ 89:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+3}{x+5}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{x}=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 90:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3–8}{x–2}$

પગથિયું 1:
$x^3–8$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3–8}{x–2}=\frac{(x–2)(x^2+2x+4)}{x–2}$

પગથિયું 2:
$x–2$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x^2+2x+4$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}(x^2+2x+4)=2^2+2(2)+4=12$

ઉકેલ:
મર્યાદા $12$ છે.

---

ઉદાહરણ 91:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{7x^2+3}{4x^2–x}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{7x^2}{4x^2}=\frac{7}{4}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{7}{4}$ છે.

---

ઉદાહરણ 92:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x^2}$

પગથિયું 1:
જેમ જેમ $x\to 0^{+}$, $\frac{1}{x^2}\to \mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\mathrm{\infty }$ છે.

---

ઉદાહરણ 93:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2–1}{x–1}$

પગથિયું 1:
$x^2–1$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^2–1}{x–1}=\frac{(x–1)(x+1)}{x–1}$

પગથિયું 2:
$x–1$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x+1$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 1}{lim}(x+1)=1+1=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 94:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^3–4x}{2x^3+5x^2}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^3}{2x^3}=\frac{3}{2}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{3}{2}$ છે.

---

ઉદાહરણ 95:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (3x)}{x}$

પગથિયું 1:
ત્રિકોણમિતિના મર્યાદા નિયમ મુજબ,
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (3x)}{x}=3$

ઉકેલ:
મર્યાદા $3$ છે.

---

ઉદાહરણ 96:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^2+2}{3x^2+7}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x^2}{3x^2}=\frac{5}{3}$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\frac{5}{3}$ છે.

---

ઉદાહરણ 97:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^4+7x}{x^4–x}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to -અનંત}{lim}\frac{2x^4}{x^4}=2$

ઉકેલ:
મર્યાદા $2$ છે.

---

ઉદાહરણ 98:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3–8}{x–2}$

પગથિયું 1:
$x^3–8$ નું ફેક્ટરીકરણ કરો:
$\frac{x^3–8}{x–2}=\frac{(x–2)(x^2+2x+4)}{x–2}$

પગથિયું 2:
$x–2$ રદ થાય છે, એટલે બાકી છે $x^2+2x+4$

પગથિયું 3:
મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 2}{lim}(x^2+2x+4)=2^2+2\cdot 2+4=12$

ઉકેલ:
મર્યાદા $12$ છે.

---

ઉદાહરણ 99:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x^2+5x}{x^2+7}$

પગથિયું 1:
અગ્રણી ઘાતક માટે મર્યાદા શોધો,
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x^2}{x^2}=6$

ઉકેલ:
મર્યાદા $6$ છે.

---

ઉદાહરણ 100:

મર્યાદા શોધો:
$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x^3}$

પગથિયું 1:
જેમ જેમ $x\to 0^{+}$, $\frac{1}{x^3}\to \mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
મર્યાદા $\mathrm{\infty }$ છે.