बहुपद (Polynomial) और गुणनखंड (Factorization) गणित के महत्वपूर्ण विषयों में से हैं। बहुपदों का उपयोग समीकरणों के हल निकालने और विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने में किया जाता है। बहुपदों की अभिव्यक्ति सामान्यतः $ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 $ के रूप में होती है, जहां $ a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 $ स्थिरांक होते हैं और $ x $ चर होता है।
गुणनखंड का अर्थ है एक बहुपद को उसके सरल घटकों में विभाजित करना। इसे आमतौर पर ‘गुणा द्वारा संघटन’ कहा जाता है। गुणनखंड निकालने के विभिन्न तरीके होते हैं जैसे कि सामान्य गुणनखंड निकालना, स्क्वायर का अंतर, और द्विघात त्रिक बहुपद का गुणनखंड निकालना।
बहुपद
बहुपद गणितीय समीकरण होते हैं जो कई पदों (टर्म्स) से मिलकर बने होते हैं। उदाहरण के लिए, $ x^2 + 3x + 2 $ एक द्विघात (Quadratic) बहुपद है। इसे द्विघात इसलिए कहा जाता है क्योंकि इसमें $ x^2 $ (दूसरी शक्ति) का पद शामिल है।
गुणनखंड निकालना
गुणनखंड निकालने का मुख्य उद्देश्य एक जटिल बहुपद को सरल घटकों में विभाजित करना है। इससे समीकरणों को हल करना आसान हो जाता है।
उदाहरण 1:
बहुपद: $ x^2 + 5x + 6 $
गुणनखंड निकालने के लिए, हम ऐसे दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ 5 $ हो।
यहां, $ 2 $ और $ 3 $ दो ऐसी संख्याएं हैं:
$ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) $
तो, $ x^2 + 5x + 6 $ का गुणनखंड $ (x + 2)(x + 3) $ है।
उदाहरण 2:
बहुपद: $ x^2 – 4 $
यह एक स्क्वायर का अंतर है। स्क्वायर के अंतर का सूत्र $ a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) $ होता है।
$ x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) $
तो, $ x^2 – 4 $ का गुणनखंड $ (x – 2)(x + 2) $ है।
उदाहरण 3:
बहुपद: $ x^2 + 7x + 12 $
गुणनखंड निकालने के लिए, हमें ऐसे दो संख्याओं की तलाश है जिनका गुणनफल $ 12 $ हो और योगफल $ 7 $ हो।
यहां $ 3 $ और $ 4 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) $
तो, $ x^2 + 7x + 12 $ का गुणनखंड $ (x + 3)(x + 4) $ है।
उदाहरण 4:
बहुपद: $ x^2 – 9x + 14 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 14 $ हो और योगफल $ -9 $ हो।
यहां $ -2 $ और $ -7 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 9x + 14 = (x – 2)(x – 7) $
तो, $ x^2 – 9x + 14 $ का गुणनखंड $ (x – 2)(x – 7) $ है।
उदाहरण 5:
बहुपद: $ x^2 + 4x – 12 $
यहां ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -12 $ हो और योगफल $ 4 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2) $
तो, $ x^2 + 4x – 12 $ का गुणनखंड $ (x + 6)(x – 2) $ है।
उदाहरण 6:
बहुपद: $ 2x^2 + 5x + 3 $
इस बहुपद में पहले हम पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ 3 $ का गुणनफल $ 6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ 5 $ हो।
यहां $ 2 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 + 5x + 3 = 2x^2 + 2x + 3x + 3 $
$ = 2x(x + 1) + 3(x + 1) $
$ = (2x + 3)(x + 1) $
तो, $ 2x^2 + 5x + 3 $ का गुणनखंड $ (2x + 3)(x + 1) $ है।
उदाहरण 7:
बहुपद: $ x^2 – 5x + 6 $
यहां ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ -5 $ हो।
यहां $ -2 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) $
तो, $ x^2 – 5x + 6 $ का गुणनखंड $ (x – 2)(x – 3) $ है।
उदाहरण 8:
बहुपद: $ 3x^2 – 2x – 5 $
यहां पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ -5 $ का गुणनफल $ -15 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -15 $ हो और योगफल $ -2 $ हो।
यहां $ 3 $ और $ -5 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 – 2x – 5 = 3x^2 – 5x + 3x – 5 $
$ = x(3x – 5) + 1(3x – 5) $
$ = (3x – 5)(x + 1) $
तो, $ 3x^2 – 2x – 5 $ का गुणनखंड $ (3x – 5)(x + 1) $ है।
उदाहरण 9:
बहुपद: $ x^2 + 2x – 8 $
यहां गुणनखंड निकालने के लिए, हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -8 $ हो और योगफल $ 2 $ हो।
यहां $ 4 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 2x – 8 = (x + 4)(x – 2) $
तो, $ x^2 + 2x – 8 $ का गुणनखंड $ (x + 4)(x – 2) $ है।
उदाहरण 10:
बहुपद: $ 2x^2 – 3x – 5 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -5 $ का गुणनफल $ -10 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -10 $ हो और योगफल $ -3 $ हो।
यहां $ -5 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 – 3x – 5 = 2x^2 – 5x + 2x – 5 $
$ = x(2x – 5) + 1(2x – 5) $
$ = (2x – 5)(x + 1) $
तो, $ 2x^2 – 3x – 5 $ का गुणनखंड $ (2x – 5)(x + 1) $ है।
उदाहरण 11:
बहुपद: $ x^2 – 6x + 9 $
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है क्योंकि $ (x – 3)^2 $ के रूप में लिखा जा सकता है:
$ x^2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3) $
तो, $ x^2 – 6x + 9 $ का गुणनखंड $ (x – 3)(x – 3) $ है।
उदाहरण 12:
बहुपद: $ x^2 + 10x + 25 $
यह भी एक पूर्ण वर्ग त्रिक है क्योंकि $ (x + 5)^2 $ के रूप में लिखा जा सकता है:
$ x^2 + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) $
तो, $ x^2 + 10x + 25 $ का गुणनखंड $ (x + 5)(x + 5) $ है।
उदाहरण 13:
बहुपद: $ x^2 – 1 $
यह एक स्क्वायर का अंतर है। स्क्वायर के अंतर का सूत्र $ a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) $ होता है:
$ x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) $
तो, $ x^2 – 1 $ का गुणनखंड $ (x – 1)(x + 1) $ है।
उदाहरण 14:
बहुपद: $ x^2 – 16 $
यह भी स्क्वायर का अंतर है:
$ x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4) $
तो, $ x^2 – 16 $ का गुणनखंड $ (x – 4)(x + 4) $ है।
उदाहरण 15:
बहुपद: $ x^2 + 9x + 20 $
गुणनखंड निकालने के लिए हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 20 $ हो और योगफल $ 9 $ हो।
यहां $ 4 $ और $ 5 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) $
तो, $ x^2 + 9x + 20 $ का गुणनखंड $ (x + 4)(x + 5) $ है।
उदाहरण 16:
बहुपद: $ x^2 – 7x + 12 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 12 $ हो और योगफल $ -7 $ हो।
यहां $ -3 $ और $ -4 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4) $
तो, $ x^2 – 7x + 12 $ का गुणनखंड $ (x – 3)(x – 4) $ है।
उदाहरण 17:
बहुपद: $ 2x^2 + 7x + 3 $
यहां पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ 3 $ का गुणनफल $ 6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ 7 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ 1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3 $
$ = 2x(x + 3) + 1(x + 3) $
$ = (2x + 1)(x + 3) $
तो, $ 2x^2 + 7x + 3 $ का गुणनखंड $ (2x + 1)(x + 3) $ है।
उदाहरण 18:
बहुपद: $ x^2 – 10x + 21 $
यहां गुणनखंड निकालने के लिए हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 21 $ हो और योगफल $ -10 $ हो।
यहां $ -3 $ और $ -7 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 10x + 21 = (x – 3)(x – 7) $
तो, $ x^2 – 10x + 21 $ का गुणनखंड $ (x – 3)(x – 7) $ है।
उदाहरण 19:
बहुपद: $ 3x^2 – 2x – 8 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ -8 $ का गुणनफल $ -24 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -24 $ हो और योगफल $ -2 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ 4 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 – 2x – 8 = 3x^2 – 6x + 4x – 8 $
$ = 3x(x – 2) + 4(x – 2) $
$ = (3x + 4)(x – 2) $
तो, $ 3x^2 – 2x – 8 $ का गुणनखंड $ (3x + 4)(x – 2) $ है।
उदाहरण 20:
बहुपद: $ x^2 – 8x + 15 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 15 $ हो और योगफल $ -8 $ हो।
यहां $ -3 $ और $ -5 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5) $
तो, $ x^2 – 8x + 15 $ का गुणनखंड $ (x – 3)(x – 5) $ है।
उदाहरण 21:
बहुपद: $ 2x^2 – 5x – 3 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -3 $ का गुणनफल $ -6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -6 $ हो और योगफल $ -5 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ 1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 – 5x – 3 = 2x^2 – 6x + x – 3 $
$ = 2x(x – 3) + 1(x – 3) $
$ = (2x + 1)(x – 3) $
तो, $ 2x^2 – 5x – 3 $ का गुणनखंड $ (2x + 1)(x – 3) $ है।
उदाहरण 22:
बहुपद: $ x^2 – 4x – 12 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -12 $ हो और योगफल $ -4 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 4x – 12 = (x – 6)(x + 2) $
तो, $ x^2 – 4x – 12 $ का गुणनखंड $ (x – 6)(x + 2) $ है।
उदाहरण 23:
बहुपद: $ 4x^2 + 4x – 8 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 4x^2 $ और $ -8 $ का गुणनफल $ -32 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -32 $ हो और योगफल $ 4 $ हो।
यहां $ 8 $ और $ -4 $ सही संख्याएं हैं:
$ 4x^2 + 4x – 8 = 4(x^2 + x – 2) $
$ = 4(x – 1)(x + 2) $
तो, $ 4x^2 + 4x – 8 $ का गुणनखंड $ 4(x – 1)(x + 2) $ है।
उदाहरण 24:
बहुपद: $ 5x^2 – 13x + 6 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 5x^2 $ और $ 6 $ का गुणनफल $ 30 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 30 $ हो और योगफल $ -13 $ हो।
यहां $ -10 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ 5x^2 – 13x + 6 = 5x^2 – 10x – 3x + 6 $
$ = 5x(x – 2) – 3(x – 2) $
$ = (5x – 3)(x – 2) $
तो, $ 5x^2 – 13x + 6 $ का गुणनखंड $ (5x – 3)(x – 2) $ है।
उदाहरण 25:
बहुपद: $ 2x^2 + 9x + 7 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ 7 $ का गुणनफल $ 14 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 14 $ हो और योगफल $ 9 $ हो।
यहां $ 7 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 + 9x + 7 = 2x^2 + 7x + 2x + 7 $
$ = x(2x + 7) + 1(2x + 7) $
$ = (2x + 7)(x + 1) $
तो, $ 2x^2 + 9x + 7 $ का गुणनखंड $ (2x + 7)(x + 1) $ है।
उदाहरण 26:
बहुपद: $ x^2 – 11x + 24 $
यहां गुणनखंड निकालने के लिए हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 24 $ हो और योगफल $ -11 $ हो।
यहां $ -8 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 11x + 24 = (x – 8)(x – 3) $
तो, $ x^2 – 11x + 24 $ का गुणनखंड $ (x – 8)(x – 3) $ है।
उदाहरण 27:
बहुपद: $ x^2 + 6x + 5 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 5 $ हो और योगफल $ 6 $ हो।
यहां $ 5 $ और $ 1 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1) $
तो, $ x^2 + 6x + 5 $ का गुणनखंड $ (x + 5)(x + 1) $ है।
उदाहरण 28:
बहुपद: $ x^2 – 5x – 14 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -14 $ हो और योगफल $ -5 $ हो।
यहां $ -7 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 5x – 14 = (x – 7)(x + 2) $
तो, $ x^2 – 5x – 14 $ का गुणनखंड $ (x – 7)(x + 2) $ है।
उदाहरण 29:
बहुपद: $ 3x^2 + 7x + 2 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ 2 $ का गुणनफल $ 6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ 7 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ 1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 + 7x + 2 = 3x^2 + 6x + x + 2 $
$ = 3x(x + 2) + 1(x + 2) $
$ = (3x + 1)(x + 2) $
तो, $ 3x^2 + 7x + 2 $ का गुणनखंड $ (3x + 1)(x + 2) $ है।
उदाहरण 30:
बहुपद: $ x^2 – 2x – 15 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -15 $ हो और योगफल $ -2 $ हो।
यहां $ -5 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 2x – 15 = (x – 5)(x + 3) $
तो, $ x^2 – 2x – 15 $ का गुणनखंड $ (x – 5)(x + 3) $ है।
उदाहरण 31:
बहुपद: $ 5x^2 + 14x + 8 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 5x^2 $ और $ 8 $ का गुणनफल $ 40 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 40 $ हो और योगफल $ 14 $ हो।
यहां $ 10 $ और $ 4 $ सही संख्याएं हैं:
$ 5x^2 + 14x + 8 = 5x^2 + 10x + 4x + 8 $
$ = 5x(x + 2) + 4(x + 2) $
$ = (5x + 4)(x + 2) $
तो, $ 5x^2 + 14x + 8 $ का गुणनखंड $ (5x + 4)(x + 2) $ है।
उदाहरण 32:
बहुपद: $ x^2 – 3x + 2 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 2 $ हो और योगफल $ -3 $ हो।
यहां $ -1 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) $
तो, $ x^2 – 3x + 2 $ का गुणनखंड $ (x – 1)(x – 2) $ है।
उदाहरण 33:
बहुपद: $ 2x^2 + 5x – 3 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -3 $ का गुणनफल $ -6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -6 $ हो और योगफल $ 5 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 + 5x – 3 = 2x^2 + 6x – x – 3 $
$ = 2x(x + 3) – 1(x + 3) $
$ = (2x – 1)(x + 3) $
तो, $ 2x^2 + 5x – 3 $ का गुणनखंड $ (2x – 1)(x + 3) $ है।
उदाहरण 34:
बहुपद: $ x^2 + 8x + 16 $
यहां हम देखते हैं कि यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है:
$ x^2 + 8x + 16 = (x + 4)(x + 4) $
तो, $ x^2 + 8x + 16 $ का गुणनखंड $ (x + 4)(x + 4) $ है।
उदाहरण 35:
बहुपद: $ 4x^2 – 25 $
यह स्क्वायर का अंतर है:
$ 4x^2 – 25 = (2x – 5)(2x + 5) $
तो, $ 4x^2 – 25 $ का गुणनखंड $ (2x – 5)(2x + 5) $ है।
उदाहरण 36:
बहुपद: $ x^2 – 4x – 5 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -5 $ हो और योगफल $ -4 $ हो।
यहां $ -5 $ और $ 1 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 4x – 5 = (x – 5)(x + 1) $
तो, $ x^2 – 4x – 5 $ का गुणनखंड $ (x – 5)(x + 1) $ है।
उदाहरण 37:
बहुपद: $ 3x^2 – 7x + 2 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ 2 $ का गुणनफल $ 6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ -7 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ -1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 – 7x + 2 = 3x^2 – 6x – x + 2 $
$ = 3x(x – 2) – 1(x – 2) $
$ = (3x – 1)(x – 2) $
तो, $ 3x^2 – 7x + 2 $ का गुणनखंड $ (3x – 1)(x – 2) $ है।
उदाहरण 38:
बहुपद: $ x^2 + 9x + 18 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 18 $ हो और योगफल $ 9 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 9x + 18 = (x + 6)(x + 3) $
तो, $ x^2 + 9x + 18 $ का गुणनखंड $ (x + 6)(x + 3) $ है।
उदाहरण 39:
बहुपद: $ x^2 – 3x – 18 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -18 $ हो और योगफल $ -3 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 3x – 18 = (x – 6)(x + 3) $
तो, $ x^2 – 3x – 18 $ का गुणनखंड $ (x – 6)(x + 3) $ है।
उदाहरण 40:
बहुपद: $ 2x^2 + 7x + 5 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ 5 $ का गुणनफल $ 10 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 10 $ हो और योगफल $ 7 $ हो।
यहां $ 5 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 + 7x + 5 = 2x^2 + 5x + 2x + 5 $
$ = x(2x + 5) + 1(2x + 5) $
$ = (2x + 5)(x + 1) $
तो, $ 2x^2 + 7x + 5 $ का गुणनखंड $ (2x + 5)(x + 1) $ है।
उदाहरण 41:
बहुपद: $ 3x^2 + 4x – 4 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ -4 $ का गुणनफल $ -12 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -12 $ हो और योगफल $ 4 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 + 4x – 4 = 3x^2 + 6x – 2x – 4 $
$ = 3x(x + 2) – 2(x + 2) $
$ = (3x – 2)(x + 2) $
तो, $ 3x^2 + 4x – 4 $ का गुणनखंड $ (3x – 2)(x + 2) $ है।
उदाहरण 42:
बहुपद: $ x^2 – 2x – 24 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -24 $ हो और योगफल $ -2 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ 4 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 2x – 24 = (x – 6)(x + 4) $
तो, $ x^2 – 2x – 24 $ का गुणनखंड $ (x – 6)(x + 4) $ है।
उदाहरण 43:
बहुपद: $ x^2 + 5x – 6 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -6 $ हो और योगफल $ 5 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -1 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 5x – 6 = (x + 6)(x – 1) $
तो, $ x^2 + 5x – 6 $ का गुणनखंड $ (x + 6)(x – 1) $ है।
उदाहरण 44:
बहुपद: $ 2x^2 – 3x + 1 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ 1 $ का गुणनफल $ 2 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 2 $ हो और योगफल $ -3 $ हो।
यहां $ -2 $ और $ -1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 – 3x + 1 = 2x^2 – 2x – x + 1 $
$ = 2x(x – 1) – 1(x – 1) $
$ = (2x – 1)(x – 1) $
तो, $ 2x^2 – 3x + 1 $ का गुणनखंड $ (2x – 1)(x – 1) $ है।
उदाहरण 45:
बहुपद: $ x^2 + 7x + 12 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 12 $ हो और योगफल $ 7 $ हो।
यहां $ 4 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) $
तो, $ x^2 + 7x + 12 $ का गुणनखंड $ (x + 4)(x + 3) $ है।
उदाहरण 46:
बहुपद: $ 3x^2 – 5x + 2 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ 2 $ का गुणनफल $ 6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ -5 $ हो।
यहां $ -2 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 – 5x + 2 = 3x^2 – 3x – 2x + 2 $
$ = 3x(x – 1) – 2(x – 1) $
$ = (3x – 2)(x – 1) $
तो, $ 3x^2 – 5x + 2 $ का गुणनखंड $ (3x – 2)(x – 1) $ है।
उदाहरण 47:
बहुपद: $ x^2 + 11x + 24 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 24 $ हो और योगफल $ 11 $ हो।
यहां $ 8 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 11x + 24 = (x + 8)(x + 3) $
तो, $ x^2 + 11x + 24 $ का गुणनखंड $ (x + 8)(x + 3) $ है।
उदाहरण 48:
बहुपद: $ 2x^2 + x – 6 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -6 $ का गुणनफल $ -12 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -12 $ हो और योगफल $ 1 $ हो।
यहां $ 4 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 + x – 6 = 2x^2 + 4x – 3x – 6 $
$ = 2x(x + 2) – 3(x + 2) $
$ = (2x – 3)(x + 2) $
तो, $ 2x^2 + x – 6 $ का गुणनखंड $ (2x – 3)(x + 2) $ है।
उदाहरण 49:
बहुपद: $ x^2 – 12x + 36 $
यहां हम देखते हैं कि यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है:
$ x^2 – 12x + 36 = (x – 6)(x – 6) $
तो, $ x^2 – 12x + 36 $ का गुणनखंड $ (x – 6)(x – 6) $ है।
उदाहरण 50:
बहुपद: $ x^2 – 16 $
यह एक स्क्वायर का अंतर है:
$ x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4) $
तो, $ x^2 – 16 $ का गुणनखंड $ (x – 4)(x + 4) $ है।
उदाहरण 51:
बहुपद: $ 4x^2 + 4x – 15 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 4x^2 $ और $ -15 $ का गुणनफल $ -60 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -60 $ हो और योगफल $ 4 $ हो।
यहां $ 10 $ और $ -6 $ सही संख्याएं हैं:
$ 4x^2 + 4x – 15 = 4x^2 + 10x – 6x – 15 $
$ = 2x(2x + 5) – 3(2x + 5) $
$ = (2x – 3)(2x + 5) $
तो, $ 4x^2 + 4x – 15 $ का गुणनखंड $ (2x – 3)(2x + 5) $ है।
उदाहरण 52:
बहुपद: $ x^2 + 6x + 9 $
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है:
$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) $
तो, $ x^2 + 6x + 9 $ का गुणनखंड $ (x + 3)(x + 3) $ है।
उदाहरण 53:
बहुपद: $ x^2 + 2x – 8 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -8 $ हो और योगफल $ 2 $ हो।
यहां $ 4 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 2x – 8 = (x + 4)(x – 2) $
तो, $ x^2 + 2x – 8 $ का गुणनखंड $ (x + 4)(x – 2) $ है।
उदाहरण 54:
बहुपद: $ 2x^2 – 7x + 3 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ 3 $ का गुणनफल $ 6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ -7 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ -1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 – 7x + 3 = 2x^2 – 6x – x + 3 $
$ = 2x(x – 3) – 1(x – 3) $
$ = (2x – 1)(x – 3) $
तो, $ 2x^2 – 7x + 3 $ का गुणनखंड $ (2x – 1)(x – 3) $ है।
उदाहरण 55:
बहुपद: $ x^2 – 9 $
यह एक स्क्वायर का अंतर है:
$ x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) $
तो, $ x^2 – 9 $ का गुणनखंड $ (x – 3)(x + 3) $ है।
उदाहरण 56:
बहुपद: $ 3x^2 + 10x + 8 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ 8 $ का गुणनफल $ 24 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 24 $ हो और योगफल $ 10 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ 4 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 + 10x + 8 = 3x^2 + 6x + 4x + 8 $
$ = 3x(x + 2) + 4(x + 2) $
$ = (3x + 4)(x + 2) $
तो, $ 3x^2 + 10x + 8 $ का गुणनखंड $ (3x + 4)(x + 2) $ है।
उदाहरण 57:
बहुपद: $ x^2 + 4x – 21 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -21 $ हो और योगफल $ 4 $ हो।
यहां $ 7 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 4x – 21 = (x + 7)(x – 3) $
तो, $ x^2 + 4x – 21 $ का गुणनखंड $ (x + 7)(x – 3) $ है।
उदाहरण 58:
बहुपद: $ 2x^2 + 3x – 9 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -9 $ का गुणनफल $ -18 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -18 $ हो और योगफल $ 3 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 + 3x – 9 = 2x^2 + 6x – 3x – 9 $
$ = 2x(x + 3) – 3(x + 3) $
$ = (2x – 3)(x + 3) $
तो, $ 2x^2 + 3x – 9 $ का गुणनखंड $ (2x – 3)(x + 3) $ है।
उदाहरण 59:
बहुपद: $ x^2 + 7x + 10 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 10 $ हो और योगफल $ 7 $ हो।
यहां $ 5 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2) $
तो, $ x^2 + 7x + 10 $ का गुणनखंड $ (x + 5)(x + 2) $ है।
उदाहरण 60:
बहुपद: $ x^2 – 4x + 3 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 3 $ हो और योगफल $ -4 $ हो।
यहां $ -3 $ और $ -1 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1) $
तो, $ x^2 – 4x + 3 $ का गुणनखंड $ (x – 3)(x – 1) $ है।
उदाहरण 61:
बहुपद: $ 2x^2 – 3x – 20 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -20 $ का गुणनफल $ -40 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -40 $ हो और योगफल $ -3 $ हो।
यहां $ 5 $ और $ -8 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 – 3x – 20 = 2x^2 – 8x + 5x – 20 $
$ = 2x(x – 4) + 5(x – 4) $
$ = (2x + 5)(x – 4) $
तो, $ 2x^2 – 3x – 20 $ का गुणनखंड $ (2x + 5)(x – 4) $ है।
उदाहरण 62:
बहुपद: $ x^2 + 10x + 21 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 21 $ हो और योगफल $ 10 $ हो।
यहां $ 7 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 10x + 21 = (x + 7)(x + 3) $
तो, $ x^2 + 10x + 21 $ का गुणनखंड $ (x + 7)(x + 3) $ है।
उदाहरण 63:
बहुपद: $ 3x^2 – 4x – 7 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ -7 $ का गुणनफल $ -21 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -21 $ हो और योगफल $ -4 $ हो।
यहां $ 3 $ और $ -7 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 – 4x – 7 = 3x^2 + 3x – 7x – 7 $
$ = 3x(x + 1) – 7(x + 1) $
$ = (3x – 7)(x + 1) $
तो, $ 3x^2 – 4x – 7 $ का गुणनखंड $ (3x – 7)(x + 1) $ है।
उदाहरण 64:
बहुपद: $ x^2 – 11x + 30 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 30 $ हो और योगफल $ -11 $ हो।
यहां $ -5 $ और $ -6 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 11x + 30 = (x – 5)(x – 6) $
तो, $ x^2 – 11x + 30 $ का गुणनखंड $ (x – 5)(x – 6) $ है।
उदाहरण 65:
बहुपद: $ 2x^2 – 5x – 3 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -3 $ का गुणनफल $ -6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -6 $ हो और योगफल $ -5 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ 1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 – 5x – 3 = 2x^2 – 6x + x – 3 $
$ = 2x(x – 3) + 1(x – 3) $
$ = (2x + 1)(x – 3) $
तो, $ 2x^2 – 5x – 3 $ का गुणनखंड $ (2x + 1)(x – 3) $ है।
उदाहरण 66:
बहुपद: $ x^2 + 3x – 10 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -10 $ हो और योगफल $ 3 $ हो।
यहां $ 5 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2) $
तो, $ x^2 + 3x – 10 $ का गुणनखंड $ (x + 5)(x – 2) $ है।
उदाहरण 67:
बहुपद: $ 3x^2 + 2x – 8 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ -8 $ का गुणनफल $ -24 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -24 $ हो और योगफल $ 2 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -4 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 + 2x – 8 = 3x^2 + 6x – 4x – 8 $
$ = 3x(x + 2) – 4(x + 2) $
$ = (3x – 4)(x + 2) $
तो, $ 3x^2 + 2x – 8 $ का गुणनखंड $ (3x – 4)(x + 2) $ है।
उदाहरण 68:
बहुपद: $ x^2 + 12x + 35 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 35 $ हो और योगफल $ 12 $ हो।
यहां $ 7 $ और $ 5 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 12x + 35 = (x + 7)(x + 5) $
तो, $ x^2 + 12x + 35 $ का गुणनखंड $ (x + 7)(x + 5) $ है।
उदाहरण 69:
बहुपद: $ x^2 – 10x + 21 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 21 $ हो और योगफल $ -10 $ हो।
यहां $ -7 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 10x + 21 = (x – 7)(x – 3) $
तो, $ x^2 – 10x + 21 $ का गुणनखंड $ (x – 7)(x – 3) $ है।
उदाहरण 70:
बहुपद: $ 4x^2 + 12x + 9 $
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है:
$ 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)(2x + 3) $
तो, $ 4x^2 + 12x + 9 $ का गुणनखंड $ (2x + 3)(2x + 3) $ है।
उदाहरण 71:
बहुपद: $ 5x^2 – 13x + 6 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 5x^2 $ और $ 6 $ का गुणनफल $ 30 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 30 $ हो और योगफल $ -13 $ हो।
यहां $ -10 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ 5x^2 – 13x + 6 = 5x^2 – 10x – 3x + 6 $
$ = 5x(x – 2) – 3(x – 2) $
$ = (5x – 3)(x – 2) $
तो, $ 5x^2 – 13x + 6 $ का गुणनखंड $ (5x – 3)(x – 2) $ है।
उदाहरण 72:
बहुपद: $ x^2 + 8x + 12 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 12 $ हो और योगफल $ 8 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 8x + 12 = (x + 6)(x + 2) $
तो, $ x^2 + 8x + 12 $ का गुणनखंड $ (x + 6)(x + 2) $ है।
उदाहरण 73:
बहुपद: $ 2x^2 – 7x + 3 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ 3 $ का गुणनफल $ 6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ -7 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ -1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 – 7x + 3 = 2x^2 – 6x – x + 3 $
$ = 2x(x – 3) – 1(x – 3) $
$ = (2x – 1)(x – 3) $
तो, $ 2x^2 – 7x + 3 $ का गुणनखंड $ (2x – 1)(x – 3) $ है।
उदाहरण 74:
बहुपद: $ 3x^2 + 4x – 4 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ -4 $ का गुणनफल $ -12 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -12 $ हो और योगफल $ 4 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 + 4x – 4 = 3x^2 + 6x – 2x – 4 $
$ = 3x(x + 2) – 2(x + 2) $
$ = (3x – 2)(x + 2) $
तो, $ 3x^2 + 4x – 4 $ का गुणनखंड $ (3x – 2)(x + 2) $ है।
उदाहरण 75:
बहुपद: $ x^2 – 14x + 49 $
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है:
$ x^2 – 14x + 49 = (x – 7)(x – 7) $
तो, $ x^2 – 14x + 49 $ का गुणनखंड $ (x – 7)(x – 7) $ है।
उदाहरण 76:
बहुपद: $ 2x^2 – 3x – 5 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -5 $ का गुणनफल $ -10 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -10 $ हो और योगफल $ -3 $ हो।
यहां $ -5 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 – 3x – 5 = 2x^2 – 5x + 2x – 5 $
$ = x(2x – 5) + 1(2x – 5) $
$ = (2x – 5)(x + 1) $
तो, $ 2x^2 – 3x – 5 $ का गुणनखंड $ (2x – 5)(x + 1) $ है।
उदाहरण 77:
बहुपद: $ 4x^2 + 12x + 9 $
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है:
$ 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)(2x + 3) $
तो, $ 4x^2 + 12x + 9 $ का गुणनखंड $ (2x + 3)(2x + 3) $ है।
उदाहरण 78:
बहुपद: $ x^2 + 5x – 14 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -14 $ हो और योगफल $ 5 $ हो।
यहां $ 7 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 5x – 14 = (x + 7)(x – 2) $
तो, $ x^2 + 5x – 14 $ का गुणनखंड $ (x + 7)(x – 2) $ है।
उदाहरण 79:
बहुपद: $ 3x^2 + 7x + 2 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ 2 $ का गुणनफल $ 6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ 7 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ 1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 + 7x + 2 = 3x^2 + 6x + x + 2 $
$ = 3x(x + 2) + 1(x + 2) $
$ = (3x + 1)(x + 2) $
तो, $ 3x^2 + 7x + 2 $ का गुणनखंड $ (3x + 1)(x + 2) $ है।
उदाहरण 80:
बहुपद: $ x^2 + 10x + 21 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 21 $ हो और योगफल $ 10 $ हो।
यहां $ 7 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 10x + 21 = (x + 7)(x + 3) $
तो, $ x^2 + 10x + 21 $ का गुणनखंड $ (x + 7)(x + 3) $ है।
उदाहरण 81:
बहुपद: $ 4x^2 – 25 $
यह स्क्वायर का अंतर है:
$ 4x^2 – 25 = (2x – 5)(2x + 5) $
तो, $ 4x^2 – 25 $ का गुणनखंड $ (2x – 5)(2x + 5) $ है।
उदाहरण 82:
बहुपद: $ x^2 + 8x + 16 $
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है:
$ x^2 + 8x + 16 = (x + 4)(x + 4) $
तो, $ x^2 + 8x + 16 $ का गुणनखंड $ (x + 4)(x + 4) $ है।
उदाहरण 83:
बहुपद: $ 2x^2 + 5x + 2 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ 2 $ का गुणनफल $ 4 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 4 $ हो और योगफल $ 5 $ हो।
यहां $ 4 $ और $ 1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 + 5x + 2 = 2x^2 + 4x + x + 2 $
$ = 2x(x + 2) + 1(x + 2) $
$ = (2x + 1)(x + 2) $
तो, $ 2x^2 + 5x + 2 $ का गुणनखंड $ (2x + 1)(x + 2) $ है।
उदाहरण 84:
बहुपद: $ x^2 – 4x – 5 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -5 $ हो और योगफल $ -4 $ हो।
यहां $ -5 $ और $ 1 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 4x – 5 = (x – 5)(x + 1) $
तो, $ x^2 – 4x – 5 $ का गुणनखंड $ (x – 5)(x + 1) $ है।
उदाहरण 85:
बहुपद: $ 3x^2 – 2x – 5 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ -5 $ का गुणनफल $ -15 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -15 $ हो और योगफल $ -2 $ हो।
यहां $ -5 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 – 2x – 5 = 3x^2 – 5x + 3x – 5 $
$ = x(3x – 5) + 1(3x – 5) $
$ = (3x – 5)(x + 1) $
तो, $ 3x^2 – 2x – 5 $ का गुणनखंड $ (3x – 5)(x + 1) $ है।
उदाहरण 86:
बहुपद: $ x^2 + 6x + 9 $
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है:
$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) $
तो, $ x^2 + 6x + 9 $ का गुणनखंड $ (x + 3)(x + 3) $ है।
उदाहरण 87:
बहुपद: $ x^2 – 5x – 14 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -14 $ हो और योगफल $ -5 $ हो।
यहां $ -7 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 5x – 14 = (x – 7)(x + 2) $
तो, $ x^2 – 5x – 14 $ का गुणनखंड $ (x – 7)(x + 2) $ है।
उदाहरण 88:
बहुपद: $ 4x^2 – 9 $
यह स्क्वायर का अंतर है:
$ 4x^2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3) $
तो, $ 4x^2 – 9 $ का गुणनखंड $ (2x – 3)(2x + 3) $ है।
उदाहरण 89:
बहुपद: $ 5x^2 + 11x + 6 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 5x^2 $ और $ 6 $ का गुणनफल $ 30 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 30 $ हो और योगफल $ 11 $ हो।
यहां $ 5 $ और $ 6 $ सही संख्याएं हैं:
$ 5x^2 + 11x + 6 = 5x^2 + 5x + 6x + 6 $
$ = 5x(x + 1) + 6(x + 1) $
$ = (5x + 6)(x + 1) $
तो, $ 5x^2 + 11x + 6 $ का गुणनखंड $ (5x + 6)(x + 1) $ है।
उदाहरण 90:
बहुपद: $ 3x^2 – 7x + 2 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ 2 $ का गुणनफल $ 6 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ 6 $ हो और योगफल $ -7 $ हो।
यहां $ -6 $ और $ -1 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 – 7x + 2 = 3x^2 – 6x – x + 2 $
$ = 3x(x – 2) – 1(x – 2) $
$ = (3x – 1)(x – 2) $
तो, $ 3x^2 – 7x + 2 $ का गुणनखंड $ (3x – 1)(x – 2) $ है।
उदाहरण 91:
बहुपद: $ x^2 + 4x – 12 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -12 $ हो और योगफल $ 4 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2) $
तो, $ x^2 + 4x – 12 $ का गुणनखंड $ (x + 6)(x – 2) $ है।
उदाहरण 92:
बहुपद: $ 2x^2 – x – 6 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -6 $ का गुणनफल $ -12 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -12 $ हो और योगफल $ -1 $ हो।
यहां $ -4 $ और $ 3 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 – x – 6 = 2x^2 – 4x + 3x – 6 $
$ = 2x(x – 2) + 3(x – 2) $
$ = (2x + 3)(x – 2) $
तो, $ 2x^2 – x – 6 $ का गुणनखंड $ (2x + 3)(x – 2) $ है।
उदाहरण 93:
बहुपद: $ x^2 – 6x + 8 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 8 $ हो और योगफल $ -6 $ हो।
यहां $ -4 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 6x + 8 = (x – 4)(x – 2) $
तो, $ x^2 – 6x + 8 $ का गुणनखंड $ (x – 4)(x – 2) $ है।
उदाहरण 94:
बहुपद: $ 4x^2 + 20x + 25 $
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिक है:
$ 4x^2 + 20x + 25 = (2x + 5)(2x + 5) $
तो, $ 4x^2 + 20x + 25 $ का गुणनखंड $ (2x + 5)(2x + 5) $ है।
उदाहरण 95:
बहुपद: $ x^2 + 5x – 6 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -6 $ हो और योगफल $ 5 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -1 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 + 5x – 6 = (x + 6)(x – 1) $
तो, $ x^2 + 5x – 6 $ का गुणनखंड $ (x + 6)(x – 1) $ है।
उदाहरण 96:
बहुपद: $ 2x^2 + 3x – 9 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 2x^2 $ और $ -9 $ का गुणनफल $ -18 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -18 $ हो और योगफल $ 3 $ हो।
यहां $ 6 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ 2x^2 + 3x – 9 = 2x^2 + 6x – 3x – 9 $
$ = 2x(x + 3) – 3(x + 3) $
$ = (2x – 3)(x + 3) $
तो, $ 2x^2 + 3x – 9 $ का गुणनखंड $ (2x – 3)(x + 3) $ है।
उदाहरण 97:
बहुपद: $ 3x^2 + 7x – 6 $
पहले और अंतिम पदों के गुणनफल का पता लगाते हैं। $ 3x^2 $ और $ -6 $ का गुणनफल $ -18 $ है। अब हम ऐसी दो संख्याओं की तलाश करते हैं जिनका गुणनफल $ -18 $ हो और योगफल $ 7 $ हो।
यहां $ 9 $ और $ -2 $ सही संख्याएं हैं:
$ 3x^2 + 7x – 6 = 3x^2 + 9x – 2x – 6 $
$ = 3x(x + 3) – 2(x + 3) $
$ = (3x – 2)(x + 3) $
तो, $ 3x^2 + 7x – 6 $ का गुणनखंड $ (3x – 2)(x + 3) $ है।
उदाहरण 98:
बहुपद: $ x^2 – 3x – 10 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ -10 $ हो और योगफल $ -3 $ हो।
यहां $ -5 $ और $ 2 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 3x – 10 = (x – 5)(x + 2) $
तो, $ x^2 – 3x – 10 $ का गुणनखंड $ (x – 5)(x + 2) $ है।
उदाहरण 99:
बहुपद: $ 4x^2 – 1 $
यह स्क्वायर का अंतर है:
$ 4x^2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1) $
तो, $ 4x^2 – 1 $ का गुणनखंड $ (2x – 1)(2x + 1) $ है।
उदाहरण 100:
बहुपद: $ x^2 – 8x + 15 $
यहां हमें ऐसे दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $ 15 $ हो और योगफल $ -8 $ हो।
यहां $ -5 $ और $ -3 $ सही संख्याएं हैं:
$ x^2 – 8x + 15 = (x – 5)(x – 3) $
तो, $ x^2 – 8x + 15 $ का गुणनखंड $ (x – 5)(x – 3) $ है।
