બિંદુઓ, રેખાઓ અને ખૂણાઓ (Points, Lines, and Angles)

જ્યોમેટ્રીના આધારે બિંદુઓ, રેખાઓ અને ખૂણાઓ જ્યોમેટ્રિકલ આકૃતિઓના મહત્વપૂર્ણ અંગ છે. આ ત્રણે મૌલિક ઘટકોનો ઉપયોગ ભિન્ન પ્રકારની આકૃતિઓ અને આકારોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે. આ વિભાગમાં, બિંદુઓ, રેખાઓ અને ખૂણાઓની સમજણ તથા તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે વિશે વિગતો અને ઉદાહરણો દ્વારા સમજણ મળશે.

1. બિંદુ (Point)

બિંદુ એ એ હોય છે જેનું કોઈ માપ નથી, તે માત્ર સ્થાન દર્શાવે છે. બિંદુની નાની દીઠ અથવા અક્ષર દ્વારા પ્રતિનિધિ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે બિંદુઓની ઓળખ કરવા માટે તેમને એકધારી અક્ષરોથી નામ આપવામાં આવે છે જેમ કે A, B, C.

2. રેખા (Line)

રેખા એ અનંત લાંબી ભૂમિતીય આકૃતિ છે. તે બિંદુઓની શ્રેણી દ્વારા બનેલી હોય છે. રેખાને બે બિંદુઓની મદદથી ઓળખી શકાય છે અને તેનું એક નામ હોય છે. તે અનંત સુધી વિસ્તરતી હોય છે.

3. ખૂણાઓ (Angles)

ખૂણો એ બે રેખાઓ કે રેખાખંડો કે અસ્તવલનો એવૉર છે જે સંયોગ બિંદુ પર મળીને ખૂણો બનાવે છે. ખૂણાઓને ડિગ્રી (∘)માં માપવામાં આવે છે.

ઉદાહરણો અને ઉકેલ (Examples and Solutions)

Example 1:

બિંદુ A અને B ના સ્થાન વચ્ચે એક રેખા રેચો.

Solution: બિંદુ A અને B ની બાજુમાંથી એક સીધી રેખા દોરી છે.

Example 2:

બિંદુ A, B અને C દ્વારા રચાયેલી ખૂણાને શોધો.

Solution:
બિંદુ A, B અને C દ્વારા એક ખૂણો રચાય છે અને તે ખૂણાનું માપ 45° છે.

Example 3:

90∘ ખૂણાની ઓળખ આપો.

Solution:
90∘ નો ખૂણો એ સમકોણીય ખૂણો છે, જે બે રેખાઓ પર ત્રિકોણીય આકૃતિ બનાવે છે.

Example 4:

બિંદુ P અને Q ની વચ્ચેના અંતરને શોધો, જો P(2,3) અને Q(5,7) છે.

Solution:
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(5–2)2+(7–3)2
=32+42
=9+16
=25
=5

Example 5:

બિંદુ A(1, 2) અને B(4, 6) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
મધ્યબિંદુનો સૂત્ર:
M=(x1+x22,y1+y22)
=(1+42,2+62)
=(52,82)
=(2.5,4)

Example 6:

રેખા y=2x+3 નું ઢોળાવ શું છે?

Solution:
રેખાનું ઢોળાવ (slope) = m = 2

Example 7:

દુરીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બે બિંદુઓ A(1, 1) અને B(4, 5) વચ્ચેનું અંતર શોધો.

Solution:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(4–1)2+(5–1)2
=32+42
=9+16
=25
=5

Example 8:

ત્રિકોણના ખૂણાં A = 30∘, B = 60∘, C = ?

Solution:
ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાંનું કુલ 180∘ હોવું જોઈએ,
C=180∘–(30∘+60∘)
=180∘–90∘
=90∘

Example 9:

સમકોણીય ખૂણો શું છે?

Solution:
સમકોણીય ખૂણો તે છે જે 90∘ હોય છે.

Example 10:

ત્રિકોણમાં ખૂણાં A = 45∘ અને B = 45∘ છે, C શું છે?

Solution:
C=180∘–(45∘+45∘)
=180∘–90∘
=90∘

Example 11:

બિંદુ O માંથી 3 એકમ અંતરે B બિંદુ પર રેખાખંડની લંબાઇ શોધો.

Solution:
બિંદુ O અને B ના અંતરને શોધવા માટે,
l=3

Example 12:

બિંદુ A(3, 2) અને B(7, 6) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(7–3)2+(6–2)2
=42+42
=16+16
=32
=5.66

Example 13:

મધ્યબિંદુ શોધો, જો બિંદુ A (4, 5) અને B (6, 9) હોય.

Solution:
M=(4+62,5+92)
=(102,142)
=(5,7)

Example 14:

જેમામાં બે બિંદુ P(2,2) અને Q(8,10) છે, તેમના માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(8–2)2+(10–2)2
=62+82
=36+64
=100
=10

Example 15:

y=3x+1 નું ઢોળાવ શું છે?

Solution:
slope = 3

Example 16:

બિંદુ P(5,3) અને Q(9,7) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(9–5)2+(7–3)2
=42+42
=16+16
=32
=5.66

Example 17:

ત્રિકોણના ખૂણાં A=40∘, B=60∘, C=?

Solution:
ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાંનું કુલ 180∘ હોવું જોઈએ,
C=180∘–(40∘+60∘)
=180∘–100∘
=80∘

Example 18:

બિંદુ P(2,5) અને Q(6,9) ની વચ્ચેનો મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
M=(x1+x22,y1+y22)
=(2+62,5+92)
=(82,142)
=(4,7)

Example 19:

45∘ ખૂણો અને 135∘ ખૂણોનું સરવાળો શું છે?

Solution:
45∘+135∘=180∘
તે ત્રિકોણનું આકૃતિ રચી શકે છે.

Example 20:

બિંદુ P(4,2) અને Q(10,6) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(10–4)2+(6–2)2
=62+42
=36+16
=52
=7.21

Example 21:

બિંદુ P(1,2) અને Q(5,4) નો મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
મધ્યબિંદુના સૂત્ર:
M=(x1+x22,y1+y22)
=(1+52,2+42)
=(62,62)
=(3,3)

Example 22:

120∘ અને 60∘ નો ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
120∘+60∘=180∘

Example 23:

બિંદુ A(2,4) અને B(8,10) માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(8–2)2+(10–4)2
=62+62
=36+36
=72
=8.49

Example 24:

બિંદુ P(0,0) અને Q(7,24) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(7–0)2+(24–0)2
=72+242
=49+576
=625
=25

Example 25:

બિંદુ A(3,5) અને B(7,11) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(x1+x22,y1+y22)
=(3+72,5+112)
=(102,162)
=(5,8)

Example 26:

90∘ ખૂણાને ત્રિઅંકમાં વર્ગીકૃત કરો.

Solution:
90∘ ખૂણો એ સમકોણીય ખૂણો છે.

Example 27:

બિંદુ P(5,5) અને Q(15,20) ની વચ્ચેનું અંતર શોધો.

Solution:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(15–5)2+(20–5)2
=102+152
=100+225
=325
=18.03

Example 28:

બિંદુ P(6,8) અને Q(14,10) ની વચ્ચેનું અંતર શોધો.

Solution:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(14–6)2+(10–8)2
=82+22
=64+4
=68
=8.25

Example 29:

બિંદુ P(7,9) અને Q(12,5) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(x1+x22,y1+y22)
=(7+122,9+52)
=(192,142)
=(9.5,7)

Example 30:

45∘ ખૂણો 90∘ ખૂણો અને 45∘ ખૂણોનો સરવાળો શોધો.

Solution:
45∘+90∘+45∘=180∘

Example 31:

બિંદુ A(4,7) અને B(10,3) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(10–4)2+(3–7)2
=62+(−4)2
=36+16
=52
=7.21

Example 32:

બિંદુ P(3,6) અને Q(8,11) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
M=(x1+x22,y1+y22)
=(3+82,6+112)
=(112,172)
=(5.5,8.5)

Example 33:

બિંદુ P(0,0) અને Q(10,24) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(10–0)2+(24–0)2
=102+242
=100+576
=676
=26

Example 34:

બિંદુ P(2,3) અને Q(9,7) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
d=(9–2)2+(7–3)2
=72+42
=49+16
=65
=8.06

Example 35:

બિંદુ P(4,2) અને Q(12,5) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(4+122,2+52)
=(162,72)
=(8,3.5)

Example 36:

ત્રિકોણના ખૂણાં A=50∘, B=70∘, C=?

Solution:
ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાંનું કુલ 180∘ હોવું જોઈએ,
C=180∘–(50∘+70∘)
=180∘–120∘
=60∘

Example 37:

બિંદુ P(6,3) અને Q(10,8) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ:
d=(10–6)2+(8–3)2
=42+52
=16+25
=41
=6.4

Example 38:

બિંદુ A(1,4) અને B(6,8) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ:
M=(1+62,4+82)
=(72,122)
=(3.5,6)

Example 39:

45∘ અને 135∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
45∘+135∘=180∘

Example 40:

બિંદુ P(7,5) અને Q(11,9) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
d=(11–7)2+(9–5)2
=42+42
=16+16
=32
=5.66

Example 41:

બિંદુ A(3,3) અને B(8,6) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(3+82,3+62)
=(112,92)
=(5.5,4.5)

Example 42:

90∘ ખૂણો છે, તેની ઓળખ આપો.

Solution:
90∘ ખૂણો એ સમકોણીય ખૂણો છે.

Example 43:

બિંદુ P(6,4) અને Q(9,12) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
d=(9–6)2+(12–4)2
=32+82
=9+64
=73
=8.54

Example 44:

બિંદુ P(3,6) અને Q(7,10) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(3+72,6+102)
=(102,162)
=(5,8)

Example 45:

180∘ ખૂણો શું કહેવાય છે?

Solution:
180∘ ખૂણો સજાતીય ખૂણો છે.

Example 46:

બિંદુ P(4,4) અને Q(8,9) વચ્ચેના અંતરને શોધો.

Solution:
d=(8–4)2+(9–4)2
=42+52
=16+25
=41
=6.4

Example 47:

બિંદુ P(2,7) અને Q(5,11) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(2+52,7+112)
=(72,182)
=(3.5,9)

Example 48:

60∘ ખૂણો શું કહેવાય છે?

Solution:
60∘ ખૂણો એક સમત્રિક ખૂણો છે.

Example 49:

બિંદુ P(4,5) અને Q(9,7) માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(9–4)2+(7–5)2
=52+22
=25+4
=29
=5.39

Example 50:

બિંદુ P(1,1) અને Q(7,10) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(1+72,1+102)
=(82,112)
=(4,5.5)

Example 51:

બિંદુ A(5,5) અને B(10,12) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(10–5)2+(12–5)2
=52+72
=25+49
=74
=8.6

Example 52:

બિંદુ P(3,4) અને Q(9,10) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ:
M=(x1+x22,y1+y22)
=(3+92,4+102)
=(122,142)
=(6,7)

Example 53:

બિંદુ A(2,3) અને B(8,6) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(x2–x1)2+(y2–y1)2
=(8–2)2+(6–3)2
=62+32
=36+9
=45
=6.71

Example 54:

120∘ ખૂણો અને 60∘ ખૂણોનો સરવાળો શોધો.

Solution:
120∘+60∘=180∘

Example 55:

બિંદુ P(5,2) અને Q(12,6) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(5+122,2+62)
=(172,82)
=(8.5,4)

Example 56:

બિંદુ A(1,5) અને B(6,9) માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(6–1)2+(9–5)2
=52+42
=25+16
=41
=6.4

Example 57:

બિંદુ P(4,3) અને Q(10,9) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(4+102,3+92)
=(142,122)
=(7,6)

Example 58:

45∘ અને 90∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
45∘+90∘=135∘

Example 59:

બિંદુ A(7,2) અને B(10,5) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(10–7)2+(5–2)2
=32+32
=9+9
=18
=4.24

Example 60:

બિંદુ P(2,6) અને Q(8,12) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(2+82,6+122)
=(102,182)
=(5,9)

Example 61:

60∘ અને 30∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
60∘+30∘=90∘

Example 62:

બિંદુ A(3,7) અને B(9,11) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(9–3)2+(11–7)2
=62+42
=36+16
=52
=7.21

Example 63:

બિંદુ P(1,5) અને Q(7,9) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(1+72,5+92)
=(82,142)
=(4,7)

Example 64:

90∘ ખૂણો અને 90∘ ખૂણોનો સરવાળો શું છે?

Solution:
90∘+90∘=180∘

Example 65:

બિંદુ A(4,6) અને B(8,10) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(8–4)2+(10–6)2
=42+42
=16+16
=32
=5.66

Example 66:

બિંદુ P(5,7) અને Q(10,12) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(5+102,7+122)
=(152,192)
=(7.5,9.5)

Example 67:

45∘, 45∘ અને 90∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
45∘+45∘+90∘=180∘

Example 68:

બિંદુ A(3,2) અને B(9,8) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(9–3)2+(8–2)2
=62+62
=36+36
=72
=8.49

Example 69:

બિંદુ P(4,9) અને Q(8,11) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(4+82,9+112)
=(122,202)
=(6,10)

Example 70:

120∘ ખૂણો અને 60∘ ખૂણોનો સરવાળો શોધો.

Solution:
120∘+60∘=180∘

Example 71:

બિંદુ A(6,7) અને B(12,10) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(12–6)2+(10–7)2
=62+32
=36+9
=45
=6.71

Example 72:

બિંદુ P(5,3) અને Q(10,7) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(5+102,3+72)
=(152,102)
=(7.5,5)

Example 73:

30∘, 60∘ અને 90∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
30∘+60∘+90∘=180∘

Example 74:

બિંદુ A(2,4) અને B(7,8) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(7–2)2+(8–4)2
=52+42
=25+16
=41
=6.4

Example 75:

બિંદુ P(6,2) અને Q(12,8) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(6+122,2+82)
=(182,102)
=(9,5)

Example 76:

બિંદુ A(7,5) અને B(12,10) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(12–7)2+(10–5)2
=52+52
=25+25
=50
=7.07

Example 77:

બિંદુ P(4,7) અને Q(9,12) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(4+92,7+122)
=(132,192)
=(6.5,9.5)

Example 78:

90∘ અને 45∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
90∘+45∘=135∘

Example 79:

બિંદુ A(2,3) અને B(8,5) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(8–2)2+(5–3)2
=62+22
=36+4
=40
=6.32

Example 80:

બિંદુ P(5,6) અને Q(10,9) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(5+102,6+92)
=(152,152)
=(7.5,7.5)

Example 81:

60∘ અને 120∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
60∘+120∘=180∘

Example 82:

બિંદુ A(3,4) અને B(10,7) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(10–3)2+(7–4)2
=72+32
=49+9
=58
=7.62

Example 83:

બિંદુ P(1,2) અને Q(6,7) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(1+62,2+72)
=(72,92)
=(3.5,4.5)

Example 84:

બિંદુ A(5,5) અને B(12,8) માટે અંતર શોધો.

Solution:
અંતર સૂત્ર:
d=(12–5)2+(8–5)2
=72+32
=49+9
=58
=7.62

Example 85:

બિંદુ P(3,5) અને Q(7,9) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(3+72,5+92)
=(102,142)
=(5,7)

Example 86:

બિંદુ A(1,1) અને B(4,5) માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(4–1)2+(5–1)2
=32+42
=9+16
=25
=5

Example 87:

બિંદુ P(2,6) અને Q(5,8) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(2+52,6+82)
=(72,142)
=(3.5,7)

Example 88:

45∘ અને 135∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
45∘+135∘=180∘

Example 89:

બિંદુ A(3,3) અને B(8,6) માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(8–3)2+(6–3)2
=52+32
=25+9
=34
=5.83

Example 90:

બિંદુ P(1,4) અને Q(6,7) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(1+62,4+72)
=(72,112)
=(3.5,5.5)

Example 91:

બિંદુ A(2,4) અને B(9,8) માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(9–2)2+(8–4)2
=72+42
=49+16
=65
=8.06

Example 92:

બિંદુ P(3,5) અને Q(8,9) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(3+82,5+92)
=(112,142)
=(5.5,7)

Example 93:

30∘, 60∘ અને 90∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
30∘+60∘+90∘=180∘

Example 94:

બિંદુ A(4,4) અને B(9,7) માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(9–4)2+(7–4)2
=52+32
=25+9
=34
=5.83

Example 95:

બિંદુ P(5,6) અને Q(11,9) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(5+112,6+92)
=(162,152)
=(8,7.5)

Example 96:

45∘ અને 135∘ ખૂણાનો સરવાળો શોધો.

Solution:
45∘+135∘=180∘

Example 97:

બિંદુ A(2,3) અને B(7,6) માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(7–2)2+(6–3)2
=52+32
=25+9
=34
=5.83

Example 98:

બિંદુ P(1,2) અને Q(6,9) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(1+62,2+92)
=(72,112)
=(3.5,5.5)

Example 99:

બિંદુ A(3,5) અને B(9,8) માટે અંતર શોધો.

Solution:
d=(9–3)2+(8–5)2
=62+32
=36+9
=45
=6.71

Example 100:

બિંદુ P(4,7) અને Q(9,12) માટે મધ્યબિંદુ શોધો.

Solution:
M=(4+92,7+122)
=(132,192)
=(6.5,9.5)

Tags
adbhutah
adbhutah

adbhutah.com

Articles: 1294