ત્રિભુજ અને તેમની વિશિષ્ટતાઓ (Triangles and Their Properties)

ત્રિભુજ એ સમાચત્ભરાવાળા ત્રણ બાજુઓ સાથેનો સમચત્વધર ભૌમિક આકાર છે. તેની વિશિષ્ટતાઓ, જેમ કે ત્રિભુજની જાતો, બાજુઓ, ખૂણાઓ, અને ક્ષેત્રફળની ગણતરી, શિક્ષણના ક્ષેત્રમાં મહત્વપૂર્ણ છે.

ત્રિભુજની પ્રકારો (Types of Triangles):

1. સમબાજુ ત્રિભુજ (Equilateral Triangle):
   • બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને બધા ખૂણા ${60}^{\circ }$ હોય છે.
2. સમકોણ ત્રિભુજ (Right-Angle Triangle):
   • એક ખૂણો ${90}^{\circ }$ હોય છે.
3. સમદ્વિભુજ ત્રિભુજ (Isosceles Triangle):
   • બે બાજુઓ સમાન હોય છે અને બે ખૂણા સમાન હોય છે.
4. વિષમબાજુ ત્રિભુજ (Scalene Triangle):
   • બધી બાજુઓ વિભિન્ન હોય છે અને બધી ખૂણાઓ પણ વિભિન્ન હોય છે.

ત્રિભુજના મુખ્ય સૂત્રો (Key Formulas for Triangles):

1. ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ (Area of a Triangle)
   $A=\frac{1}{2}\times આધાર\times ઊંચાઈ$
   • આધાર: ત્રિભુજની આધાર રેખા
   • ઊંચાઈ: આધારથી સમાચત્બિન ભીંજવતો ખૂણો
2. ત્રિભુજની પરિધિ (Perimeter of a Triangle)
   $P=a+b+c$
   • $a$, $b$, અને $c$ ત્રિભુજની બાજુઓ છે.
3. Pythagoras Theorem (સમકોણ ત્રિભુજ માટે)
   $c^2=a^2+b^2$
   • $a$, $b$: ત્રિભુજની બાજુઓ
   • $c$: હાઈપોટેન્યુસ

ઉદાહરણો (Examples):

---

Example 1:

ત્રિભુજમાં આધાર $6$ મી. અને ઊંચાઈ $8$ મી. હોય તો ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
સૂત્ર: $A=\frac{1}{2}\times આધાર\times ઊંચાઈ$
$=\frac{1}{2}\times 6\times 8$
$=24$
અર્થાત, ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ $24$ ચોરસ મી. છે.

---

Example 2:

ત્રિભુજની બાજુઓ $7$ મી., $8$ મી., અને $9$ મી. છે. તેનો પરિધિ શોધો.

Solution:
પરિધિનું સૂત્ર: $P=a+b+c$
$=7+8+9$
$=24$
અર્થાત, ત્રિભુજની પરિધિ $24$ મી. છે.

---

Example 3:

ત્રિભુજની બાજુઓ $3$ મી., $4$ મી., અને $5$ મી. છે. Pythagoras Theoremનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે આ સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં.

Solution:
Pythagoras Theorem: $c^2=a^2+b^2$
$5^2=3^2+4^2$
$25=9+16$
$25=25$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 4:

એક સમબાજુ ત્રિભુજમાં બાજુની લંબાઇ $10$ મી. છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
સમબાજુ ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ:
$A=\frac{\sqrt{3}}{4}\times બાજ{ુ}^2$
$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {10}^2$
$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 100$
$=43.30$
અર્થાત, સમબાજુ ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ $43.30$ ચોરસ મી. છે.

---

Example 5:

બાજુ $5$ મી., $12$ મી., અને $13$ મી. ધરાવતો ત્રિભુજ સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં, તે Pythagoras Theoremનો ઉપયોગ કરીને તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${13}^2=5^2+{12}^2$
$169=25+144$
$169=169$
અર્થાત, હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 6:

એક સમદ્વિભુજ ત્રિભુજમાં બાજુ $8$ મી. છે, અને ત્રીજી બાજુ $6$ મી. છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
$\text{પ્રથમ},$ ત્રીજી બાજુનો બે ભાગમાં વિભાજન કરો અને ઊંચાઈ શોધો.
$h=\sqrt{8^2–3^2}$
$=\sqrt{64–9}$
$=\sqrt{55}$
$\approx 7.42$
$\text{આમ, ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ છે:}$
$A=\frac{1}{2}\times 6\times 7.42$
$=22.26$ ચોરસ મીટર

---

Example 7:

ત્રિભુજની બાજુઓ $6$, $8$, અને $10$ છે. આ ત્રિભુજનો પરિધિ અને ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
પરિધિ:
$P=6+8+10$
$=24$ મી.

ક્ષેત્રફળ Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને:
$s=\frac{P}{2}=\frac{24}{2}=12$
$A=\sqrt{s(s–a)(s–b)(s–c)}$
$=\sqrt{12(12–6)(12–8)(12–10)}$
$=\sqrt{12\times 6\times 4\times 2}$
$=\sqrt{576}$
$=24$ ચોરસ મી.

---

Example 8:

બાજુઓ $13$, $14$, અને $15$ ધરાવતું ત્રિભુજ સમચત્ છે કે નહીં, તે તપાસો.

Solution:
કોઈપણ સમચત્ ત્રિભુજમાં Pythagoras Theorem લાગુ પડે છે.
${15}^2={13}^2+{14}^2$
$225=169+196$
$225=365$
અર્થાત, આ ત્રિભુજ સમચત્ નથી.

---

Example 9:

સમકોણ ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ શોધો, જેમાં બાજુ $8$ મી. અને $6$ મી. છે.

Solution:
ક્ષેત્રફળ:
$A=\frac{1}{2}\times 8\times 6$
$=\frac{1}{2}\times 48$
$=24$ ચોરસ મી.

---

Example 10:

બાજુ $5$ મીટર, $12$ મીટર અને $13$ મીટર ધરાવતો ત્રિભુજનો પરિધિ અને ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
પરિધિ:
$P=5+12+13$
$=30$ મીટર

Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્રફળ:
$s=\frac{P}{2}=\frac{30}{2}=15$
$A=\sqrt{15(15–5)(15–12)(15–13)}$
$=\sqrt{15\times 10\times 3\times 2}$
$=\sqrt{900}$
$=30$ ચોરસ મીટર

---

Example 11:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $9$, $12$, અને $15$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ Heron’s formula નો ઉપયોગ કરીને શોધો.

Solution:
$s=\frac{P}{2}=\frac{9+12+15}{2}=18$
$A=\sqrt{18(18–9)(18–12)(18–15)}$
$=\sqrt{18\times 9\times 6\times 3}$
$=\sqrt{2916}$
$=54$ ચોરસ મીટર

---

Example 12:

બાજુ $6$, $8$, અને $10$ ધરાવતો ત્રિભુજ સમચત્ છે કે નહીં, Pythagoras Theoremનો ઉપયોગ કરીને તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${10}^2=6^2+8^2$
$100=36+64$
$100=100$
અર્થાત, આ ત્રિભુજ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 13:

$12$ મી. ઉંચાઈ અને $6$ મીટર આધાર ધરાવતું ત્રિભુજનો વિસ્તાર શોધો.

Solution:
ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$A=\frac{1}{2}\times 12\times 6$
$=\frac{1}{2}\times 72$
$=36$ ચોરસ મીટર

---

Example 14:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $7$, $24$, અને $25$ છે. તેનો વિસ્તાર Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને શોધો.

Solution:
$s=\frac{P}{2}=\frac{7+24+25}{2}=28$
$A=\sqrt{28(28–7)(28–24)(28–25)}$
$=\sqrt{28\times 21\times 4\times 3}$
$=\sqrt{7056}$
$=84$ ચોરસ મીટર

---

Example 15:

બાજુઓ $5$, $12$, અને $13$ ધરાવતો ત્રિભુજ Pythagorean Theoremથી તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${13}^2=5^2+{12}^2$
$169=25+144$
$169=169$
અર્થાત, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 16:

એક ત્રિભુજમાં, બાજુ $6$ મી. છે અને ઊંચાઈ $8$ મી. છે. તેનું વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$A=\frac{1}{2}\times 6\times 8$
$=24$ ચોરસ મીટર

---

Example 17:

એક સમદ્વિભુજ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુઓ $10$ મીટર અને ત્રીજી બાજુ $12$ મીટર છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{P}{2}=\frac{10+10+12}{2}=16$
$A=\sqrt{16(16–10)(16–10)(16–12)}$
$=\sqrt{16\times 6\times 6\times 4}$
$=\sqrt{2304}$
$=48$ ચોરસ મીટર

---

Example 18:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $9$, $12$, અને $15$ છે. તેનો પરિધિ શોધો.

Solution:
પરિધિનું સૂત્ર:
$P=a+b+c$
$=9+12+15$
$=36$ મીટર

---

Example 19:

ત્રિભુજમાં એક ખૂણો ${60}^{\circ }$ છે. ત્રિભુજનો બીજો ખૂણો ${40}^{\circ }$ છે. ત્રીજો ખૂણો શોધો.

Solution:
ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો ${180}^{\circ }$ થાય છે:
${60}^{\circ }+{40}^{\circ }+x={180}^{\circ }$
$x={180}^{\circ }–{100}^{\circ }$
$={80}^{\circ }$

---

Example 20:

બાજુઓ $12$ મી., $16$ મી., અને $20$ મી. ધરાવતો ત્રિભુજનો વિસ્તાર Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને શોધો.

Solution:
$s=\frac{12+16+20}{2}=24$
$A=\sqrt{24(24–12)(24–16)(24–20)}$
$=\sqrt{24\times 12\times 8\times 4}$
$=\sqrt{9216}$
$=96$ ચોરસ મીટર

---

Example 21:

એક ત્રિભુજમાં, બાજુઓ $8$ મી. અને $15$ મી. છે. ત્રીજી બાજુ $17$ મી. છે. Pythagoras Theoremનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે આ ત્રિભુજ સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${17}^2=8^2+{15}^2$
$289=64+225$
$289=289$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 22:

એક ત્રિભુજમાં બાજુઓ $7$, $9$, અને $12$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
$s=\frac{7+9+12}{2}=14$
$A=\sqrt{14(14–7)(14–9)(14–12)}$
$=\sqrt{14\times 7\times 5\times 2}$
$=\sqrt{980}$
$=31.30$ ચોરસ મીટર

---

Example 23:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $6$ મીટર, $10$ મીટર, અને $8$ મીટર છે. તેનું પરિધિ શોધો.

Solution:
પરિધિનું સૂત્ર:
$P=a+b+c$
$=6+10+8$
$=24$ મીટર

---

Example 24:

ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ શોધો, જ્યાં બાજુઓ $8$ મીટર, $6$ મીટર, અને $10$ મીટર છે.

Solution:
Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને:
$s=\frac{8+6+10}{2}=12$
$A=\sqrt{12(12–8)(12–6)(12–10)}$
$=\sqrt{12\times 4\times 6\times 2}$
$=\sqrt{576}$
$=24$ ચોરસ મીટર

---

Example 25:

ત્રિભુજમાં બાજુ $9$ મીટર અને ઊંચાઈ $7$ મીટર છે. તેનો વિસ્તાર શોધો.

Solution:
સૂત્ર:
$A=\frac{1}{2}\times આધાર\times ઊંચાઈ$
$=\frac{1}{2}\times 9\times 7$
$=31.5$ ચોરસ મીટર

---

Example 26:

બાજુઓ $7$, $24$, અને $25$ ધરાવતું ત્રિભુજ સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં, તે Pythagoras Theoremથી તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${25}^2=7^2+{24}^2$
$625=49+576$
$625=625$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 27:

એક સમદ્વિભુજ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુઓ $6$ મીટર છે, અને ત્રીજી બાજુ $5$ મીટર છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{6+6+5}{2}=8.5$
$A=\sqrt{8.5(8.5–6)(8.5–6)(8.5–5)}$
$=\sqrt{8.5\times 2.5\times 2.5\times 3.5}$
$=\sqrt{186.56}$
$=13.66$ ચોરસ મીટર

---

Example 28:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $5$, $12$, અને $13$ છે. તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં, તે તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${13}^2=5^2+{12}^2$
$169=25+144$
$169=169$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 29:

ત્રિભુજમાં ${60}^{\circ }$, ${50}^{\circ }$ ખૂણાઓ છે. ત્રીજો ખૂણો શોધો.

Solution:
ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો ${180}^{\circ }$ છે:
${60}^{\circ }+{50}^{\circ }+x={180}^{\circ }$
$x={180}^{\circ }–{110}^{\circ }$
$={70}^{\circ }$

---

Example 30:

એક સમબાજુ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુ $15$ મીટર છે. તેનો વિસ્તાર Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને શોધો.

Solution:
$s=\frac{15+15+15}{2}=22.5$
$A=\sqrt{22.5(22.5–15)(22.5–15)(22.5–15)}$
$=\sqrt{22.5\times 7.5\times 7.5\times 7.5}$
$=\sqrt{6335.94}$
$=79.6$ ચોરસ મીટર

---

Example 31:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $8$, $15$, અને $17$ છે. Pythagoras Theoremનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${17}^2=8^2+{15}^2$
$289=64+225$
$289=289$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 32:

$12$ મીટર ઉંચાઈ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેના આધારની લંબાઈ $8$ મીટર છે. તેનો વિસ્તાર શોધો.

Solution:
ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$A=\frac{1}{2}\times 12\times 8$
$=\frac{1}{2}\times 96$
$=48$ ચોરસ મીટર

---

Example 33:

બાજુઓ $6$ મીટર, $10$ મીટર, અને $14$ મીટર ધરાવતો ત્રિભુજનો પરિધિ અને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
પરિધિ:
$P=6+10+14$
$=30$ મીટર

Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર:
$s=\frac{30}{2}=15$
$A=\sqrt{15(15–6)(15–10)(15–14)}$
$=\sqrt{15\times 9\times 5\times 1}$
$=\sqrt{675}$
$=25.98$ ચોરસ મીટર

---

Example 34:

એક ત્રિભુજ છે જેમાં બે ખૂણાઓ ${45}^{\circ }$ અને ${55}^{\circ }$ છે. ત્રીજો ખૂણો શોધો.

Solution:
ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો ${180}^{\circ }$ છે:
${45}^{\circ }+{55}^{\circ }+x={180}^{\circ }$
$x={180}^{\circ }–{100}^{\circ }$
$={80}^{\circ }$

---

Example 35:

એક સમબાજુ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુ $9$ મીટર છે. તેનું ક્ષેત્રફળ Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને શોધો.

Solution:
$s=\frac{9+9+9}{2}=13.5$
$A=\sqrt{13.5(13.5–9)(13.5–9)(13.5–9)}$
$=\sqrt{13.5\times 4.5\times 4.5\times 4.5}$
$=\sqrt{1226.44}$
$=35.02$ ચોરસ મીટર

---

Example 36:

બાજુઓ $10$, $24$, અને $26$ ધરાવતો ત્રિભુજ Pythagoras Theoremનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${26}^2={10}^2+{24}^2$
$676=100+576$
$676=676$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 37:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $5$, $12$, અને $13$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
$s=\frac{5+12+13}{2}=15$
$A=\sqrt{15(15–5)(15–12)(15–13)}$
$=\sqrt{15\times 10\times 3\times 2}$
$=\sqrt{900}$
$=30$ ચોરસ મીટર

---

Example 38:

ત્રિભુજમાં ${40}^{\circ }$, ${50}^{\circ }$ ખૂણાઓ છે. ત્રીજો ખૂણો શોધો.

Solution:
ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો ${180}^{\circ }$ છે:
${40}^{\circ }+{50}^{\circ }+x={180}^{\circ }$
$x={180}^{\circ }–{90}^{\circ }$
$={90}^{\circ }$

---

Example 39:

એક સમબાજુ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુ $7$ મીટર છે. તેનો વિસ્તાર Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને શોધો.

Solution:
$s=\frac{7+7+7}{2}=10.5$
$A=\sqrt{10.5(10.5–7)(10.5–7)(10.5–7)}$
$=\sqrt{10.5\times 3.5\times 3.5\times 3.5}$
$=\sqrt{449.44}$
$=21.2$ ચોરસ મીટર

---

Example 40:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $11$, $15$, અને $20$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
$s=\frac{11+15+20}{2}=23$
$A=\sqrt{23(23–11)(23–15)(23–20)}$
$=\sqrt{23\times 12\times 8\times 3}$
$=\sqrt{6624}$
$=81.4$ ચોરસ મીટર

---

Example 41:

ત્રિભુજમાં $9$ મીટર આધાર અને $4$ મીટર ઊંચાઈ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
સૂત્ર:
$A=\frac{1}{2}\times આધાર\times ઊંચાઈ$
$=\frac{1}{2}\times 9\times 4$
$=18$ ચોરસ મીટર

---

Example 42:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $10$, $24$, અને $26$ છે. Pythagoras Theoremનો ઉપયોગ કરીને તપાસો કે તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${26}^2={10}^2+{24}^2$
$676=100+576$
$676=676$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 43:

એક સમદ્વિભુજ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુઓ $8$ મીટર છે, અને ત્રીજી બાજુ $6$ મીટર છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{8+8+6}{2}=11$
$A=\sqrt{11(11–8)(11–8)(11–6)}$
$=\sqrt{11\times 3\times 3\times 5}$
$=\sqrt{495}$
$=22.25$ ચોરસ મીટર

---

Example 44:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $6$, $10$, અને $15$ છે. તેનો પરિધિ શોધો.

Solution:
પરિધિનું સૂત્ર:
$P=a+b+c$
$=6+10+15$
$=31$ મીટર

---

Example 45:

ત્રિભુજમાં એક ખૂણો ${70}^{\circ }$ છે. ત્રિભુજનો બીજો ખૂણો ${60}^{\circ }$ છે. ત્રીજો ખૂણો શોધો.

Solution:
ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો ${180}^{\circ }$ છે:
${70}^{\circ }+{60}^{\circ }+x={180}^{\circ }$
$x={180}^{\circ }–{130}^{\circ }$
$={50}^{\circ }$

---

Example 46:

ત્રિભુજમાં $9$ મીટર આધાર અને $12$ મીટર ઊંચાઈ છે. તેનો વિસ્તાર શોધો.

Solution:
ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$A=\frac{1}{2}\times આધાર\times ઊંચાઈ$
$=\frac{1}{2}\times 9\times 12$
$=54$ ચોરસ મીટર

---

Example 47:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $7$, $10$, અને $12$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{7+10+12}{2}=14.5$
$A=\sqrt{14.5(14.5–7)(14.5–10)(14.5–12)}$
$=\sqrt{14.5\times 7.5\times 4.5\times 2.5}$
$=\sqrt{1227.2}$
$=35.04$ ચોરસ મીટર

---

Example 48:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $3$, $4$, અને $5$ છે. તેનો પરિધિ શોધો.

Solution:
પરિધિનું સૂત્ર:
$P=a+b+c$
$=3+4+5$
$=12$ મીટર

---

Example 49:

ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ શોધો, જ્યાં બાજુઓ $9$ મીટર, $6$ મીટર, અને $10$ મીટર છે.

Solution:
Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને:
$s=\frac{9+6+10}{2}=12.5$
$A=\sqrt{12.5(12.5–9)(12.5–6)(12.5–10)}$
$=\sqrt{12.5\times 3.5\times 6.5\times 2.5}$
$=\sqrt{707.8}$
$=26.6$ ચોરસ મીટર

---

Example 50:

એક સમદ્વિભુજ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુઓ $9$ મીટર છે, અને ત્રીજી બાજુ $5$ મીટર છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{9+9+5}{2}=11.5$
$A=\sqrt{11.5(11.5–9)(11.5–9)(11.5–5)}$
$=\sqrt{11.5\times 2.5\times 2.5\times 6.5}$
$=\sqrt{465.94}$
$=21.6$ ચોરસ મીટર

---

Example 51:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $8$, $12$, અને $14$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને તેનો વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{8+12+14}{2}=17$
$A=\sqrt{17(17–8)(17–12)(17–14)}$
$=\sqrt{17\times 9\times 5\times 3}$
$=\sqrt{2295}$
$=47.91$ ચોરસ મીટર

---

Example 52:

એક સમકોણ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુઓ $5$ મીટર, $12$ મીટર, અને $13$ મીટર છે. તેનો વિસ્તાર શોધો.

Solution:
ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$A=\frac{1}{2}\times 5\times 12$
$=\frac{1}{2}\times 60$
$=30$ ચોરસ મીટર

---

Example 53:

ત્રિભુજમાં $15$ મીટર આધાર અને $9$ મીટર ઊંચાઈ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$A=\frac{1}{2}\times આધાર\times ઊંચાઈ$
$=\frac{1}{2}\times 15\times 9$
$=67.5$ ચોરસ મીટર

---

Example 54:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $8$, $10$, અને $12$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને તેનો પરિધિ અને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
પરિધિ:
$P=8+10+12=30$ મીટર

Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને:
$s=\frac{30}{2}=15$
$A=\sqrt{15(15–8)(15–10)(15–12)}$
$=\sqrt{15\times 7\times 5\times 3}$
$=\sqrt{1575}$
$=39.68$ ચોરસ મીટર

---

Example 55:

ત્રિભુજનું ક્ષેત્રફળ શોધો, જ્યાં બાજુઓ $9$ મીટર, $5$ મીટર, અને $7$ મીટર છે.

Solution:
Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને:
$s=\frac{9+5+7}{2}=10.5$
$A=\sqrt{10.5(10.5–9)(10.5–5)(10.5–7)}$
$=\sqrt{10.5\times 1.5\times 5.5\times 3.5}$
$=\sqrt{302.4375}$
$=17.4$ ચોરસ મીટર

---

Example 56:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $7$, $14$, અને $21$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં, તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${21}^2=7^2+{14}^2$
$441=49+196$
$441\ne 245$
આ સમકોણ ત્રિભુજ નથી.

---

Example 57:

એક સમબાજુ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુ $10$ મીટર છે. તેનું ક્ષેત્રફળ Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને શોધો.

Solution:
$s=\frac{10+10+10}{2}=15$
$A=\sqrt{15(15–10)(15–10)(15–10)}$
$=\sqrt{15\times 5\times 5\times 5}$
$=\sqrt{1875}$
$=43.3$ ચોરસ મીટર

---

Example 58:

${15}^{\circ }$, ${85}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે. ત્રીજો ખૂણો શોધો.

Solution:
ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો ${180}^{\circ }$ છે:
${15}^{\circ }+{85}^{\circ }+x={180}^{\circ }$
$x={180}^{\circ }–{100}^{\circ }$
$={80}^{\circ }$

---

Example 59:

એક ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુઓ $8$, $10$, અને $12$ છે. Pythagoras Theorem નો ઉપયોગ કરીને તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં, તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${12}^2=8^2+{10}^2$
$144=64+100$
$144=144$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 60:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $6$, $8$, અને $10$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને તેનો પરિધિ અને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
પરિધિ:
$P=6+8+10=24$ મીટર

Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને:
$s=\frac{24}{2}=12$
$A=\sqrt{12(12–6)(12–8)(12–10)}$
$=\sqrt{12\times 6\times 4\times 2}$
$=\sqrt{576}$
$=24$ ચોરસ મીટર

---

Example 61:

એક ત્રિભુજમાં બાજુઓ $5$ મીટર, $7$ મીટર, અને $9$ મીટર છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્રફળ શોધો.

Solution:
$s=\frac{5+7+9}{2}=10.5$
$A=\sqrt{10.5(10.5–5)(10.5–7)(10.5–9)}$
$=\sqrt{10.5\times 5.5\times 3.5\times 1.5}$
$=\sqrt{302.4375}$
$=17.4$ ચોરસ મીટર

---

Example 62:

ત્રિભુજમાં ${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ખૂણાઓ છે. Pythagoras Theorem નો ઉપયોગ કરીને ખૂણાના સંબંધી ત્રિભુજની લંબાઈઓ શોધો.

Solution:
${30}^{\circ }$- ${60}^{\circ }$- ${90}^{\circ }$ ત્રિભુજમાં,
$Hypotenuse=2\times (ShortestSide)$
$Opposite=\sqrt{3}\times (ShortestSide)$

---

Example 63:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $6$, $8$, અને $12$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને પરિધિ અને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
પરિધિ:
$P=6+8+12=26$ મીટર

Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને:
$s=\frac{26}{2}=13$
$A=\sqrt{13(13–6)(13–8)(13–12)}$
$=\sqrt{13\times 7\times 5\times 1}$
$=\sqrt{455}$
$=21.33$ ચોરસ મીટર

---

Example 64:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે. Hypotenuse શોધો, જ્યાં બાજુઓ $5$ મીટર છે.

Solution:
${45}^{\circ }$- ${45}^{\circ }$- ${90}^{\circ }$ ત્રિભુજમાં,
$Hypotenuse=a\times \sqrt{2}$
$=5\times \sqrt{2}$
$=7.07$ મીટર

---

Example 65:

ત્રિભુજમાં $9$ મીટર આધાર અને $5$ મીટર ઊંચાઈ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ Heron’s Formula નો ઉપયોગ કર્યા વિના શોધો.

Solution:
ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$A=\frac{1}{2}\times આધાર\times ઊંચાઈ$
$=\frac{1}{2}\times 9\times 5$
$=22.5$ ચોરસ મીટર

---

Example 66:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $9$, $10$, અને $11$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{9+10+11}{2}=15$
$A=\sqrt{15(15–9)(15–10)(15–11)}$
$=\sqrt{15\times 6\times 5\times 4}$
$=\sqrt{1800}$
$=42.43$ ચોરસ મીટર

---

Example 67:

${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $13$ મીટર છે અને એક બાજુ $12$ મીટર છે. બીજી બાજુ શોધો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${13}^2={12}^2+b^2$
$169=144+b^2$
$b^2=25$
$b=5$ મીટર

---

Example 68:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $4$, $6$, અને $8$ છે. તેનો પરિધિ અને Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
પરિધિ:
$P=4+6+8=18$ મીટર

Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને:
$s=\frac{18}{2}=9$
$A=\sqrt{9(9–4)(9–6)(9–8)}$
$=\sqrt{9\times 5\times 3\times 1}$
$=\sqrt{135}$
$=11.62$ ચોરસ મીટર

---

Example 69:

એક ત્રિભુજ છે જેમાં ${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ખૂણાઓ છે. બાજુ $7$ મીટર છે. Hypotenuse શોધો.

Solution:
${45}^{\circ }$- ${45}^{\circ }$- ${90}^{\circ }$ ત્રિભુજમાં,
$Hypotenuse=a\times \sqrt{2}$
$=7\times \sqrt{2}$
$=9.9$ મીટર

---

Example 70:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $8$, $15$, અને $17$ છે. Pythagoras Theorem નો ઉપયોગ કરીને તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં, તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${17}^2=8^2+{15}^2$
$289=64+225$
$289=289$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 71:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં બાજુ $5$ મીટર છે. Hypotenuse શોધો.

Solution:
$Hypotenuse=a\times \sqrt{2}$
$=5\times \sqrt{2}$
$=7.07$ મીટર

---

Example 72:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $12$, $13$, અને $5$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{12+13+5}{2}=15$
$A=\sqrt{15(15–12)(15–13)(15–5)}$
$=\sqrt{15\times 3\times 2\times 10}$
$=\sqrt{900}$
$=30$ ચોરસ મીટર

---

Example 73:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $6$, $8$, અને $10$ છે. Pythagoras Theorem નો ઉપયોગ કરીને તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં, તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${10}^2=6^2+8^2$
$100=36+64$
$100=100$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 74:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ત્રિભુજ છે. તે ખૂણાઓની સાથે Hypotenuse $10$ મીટર છે.Shortest side શોધો.

Solution:
Shortest side $=\frac{Hypotenuse}{2}$
$=\frac{10}{2}$
$=5$ મીટર

---

Example 75:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $14$ મીટર છે. બાજુઓ શોધો.

Solution:
$a=\frac{Hypotenuse}{\sqrt{2}}$
$=\frac{14}{\sqrt{2}}$
$=9.9$ મીટર

---

Example 76:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $20$ મીટર છે.Shortest side શોધો.

Solution:
Shortest side $=\frac{Hypotenuse}{2}$
$=\frac{20}{2}$
$=10$ મીટર

---

Example 77:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $9$, $12$, અને $15$ છે. Pythagoras Theorem નો ઉપયોગ કરીને તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં, તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${15}^2=9^2+{12}^2$
$225=81+144$
$225=225$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 78:

એક સમબાજુ ત્રિભુજ છે જેમાં બાજુ $12$ મીટર છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{12+12+12}{2}=18$
$A=\sqrt{18(18–12)(18–12)(18–12)}$
$=\sqrt{18\times 6\times 6\times 6}$
$=\sqrt{3888}$
$=62.37$ ચોરસ મીટર

---

Example 79:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $18$ મીટર છે.Shortest side શોધો.

Solution:
Shortest side $=\frac{Hypotenuse}{2}$
$=\frac{18}{2}$
$=9$ મીટર

---

Example 80:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $20$ મીટર છે. બાજુઓ શોધો.

Solution:
$a=\frac{Hypotenuse}{\sqrt{2}}$
$=\frac{20}{\sqrt{2}}$
$=14.14$ મીટર

---

Example 81:

ત્રિભુજમાં ${50}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${70}^{\circ }$ ખૂણાઓ છે. ત્રિભુજનો પરિધિ $30$ મીટર છે. દરેક બાજુની લંબાઈ શોધો.

Solution:
Supplementary angle theorem ઉપયોગ કરીને, બાજુઓનું પ્રમાણ શોધો. $x,y,z$ તરીકે બાજુઓની લંબાઈ લઈએ.

---

Example 82:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ત્રિભુજ છે. બાજુ $6$ મીટર છે. Hypotenuse શોધો.

Solution:
Hypotenuse $=2\times (ShortestSide)$
$=2\times 6$
$=12$ મીટર

---

Example 83:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $24$ મીટર છે. બાજુઓ શોધો.

Solution:
$a=\frac{Hypotenuse}{\sqrt{2}}$
$=\frac{24}{\sqrt{2}}$
$=16.97$ મીટર

---

Example 84:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $16$ મીટર છે.Shortest side શોધો.

Solution:
Shortest side $=\frac{Hypotenuse}{2}$
$=\frac{16}{2}$
$=8$ મીટર

---

Example 85:

${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $26$ મીટર છે અને એક બાજુ $24$ મીટર છે. બીજી બાજુ શોધો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${26}^2={24}^2+b^2$
$676=576+b^2$
$b^2=100$
$b=10$ મીટર

---

Example 86:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $7$, $24$, અને $25$ છે. Pythagoras Theorem નો ઉપયોગ કરીને તે સમકોણ ત્રિભુજ છે કે નહીં, તપાસો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${25}^2=7^2+{24}^2$
$625=49+576$
$625=625$
હા, આ સમકોણ ત્રિભુજ છે.

---

Example 87:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, जिसमें Hypotenuse $28$ મીટર છે. બાજુઓ શોધો.

Solution:
$a=\frac{Hypotenuse}{\sqrt{2}}$
$=\frac{28}{\sqrt{2}}$
$=19.8$ મીટર

---

Example 88:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $22$ મીટર છે.Shortest side શોધો.

Solution:
Shortest side $=\frac{Hypotenuse}{2}$
$=\frac{22}{2}$
$=11$ મીટર

---

Example 89:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $32$ મીટર છે. બાજુઓ શોધો.

Solution:
$a=\frac{Hypotenuse}{\sqrt{2}}$
$=\frac{32}{\sqrt{2}}$
$=22.63$ મીટર

---

Example 90:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $30$ મીટર છે.Shortest side શોધો.

Solution:
Shortest side $=\frac{Hypotenuse}{2}$
$=\frac{30}{2}$
$=15$ મીટર

---

Example 91:

${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, જેમાં Hypotenuse $18$ મીટર છે અને એક બાજુ $15$ મીટર છે. બીજી બાજુ શોધો.

Solution:
Pythagoras Theorem:
$c^2=a^2+b^2$
${18}^2={15}^2+b^2$
$324=225+b^2$
$b^2=99$
$b=9.95$ મીટર

---

Example 92:

ત્રિભુજમાં બાજુઓ $6$, $8$, અને $10$ છે. Heron’s Formula નો ઉપયોગ કરીને તેનો વિસ્તાર શોધો.

Solution:
$s=\frac{6+8+10}{2}=12$
$A=\sqrt{12(12–6)(12–8)(12–10)}$
$=\sqrt{12\times 6\times 4\times 2}$
$=\sqrt{576}$
$=24$ ચોરસ મીટર

---

Example 93:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, जिसमें Hypotenuse $36$ મીટર છે. બાજુઓ શોધો.

Solution:
$a=\frac{Hypotenuse}{\sqrt{2}}$
$=\frac{36}{\sqrt{2}}$
$=25.46$ મીટર

---

Example 94:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, जिसमें Hypotenuse $40$ મીટર છે. Shortest side શોધો.

Solution:
Shortest side $=\frac{Hypotenuse}{2}$
$=\frac{40}{2}$
$=20$ મીટર

---

Example 95:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે. Hypotenuse $14$ મીટર છે. Longer side શોધો.

Solution:
Longer side $=\sqrt{3}\times Shortestside$
$=\sqrt{3}\times \frac{14}{2}$
$=\sqrt{3}\times 7$
$=12.12$ મીટર

---

Example 96:

ત્રિભુજમાં ${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ખૂણાઓ છે. Hypotenuse $50$ મીટર છે. Longer side શોધો.

Solution:
Longer side $=\sqrt{3}\times Shortestside$
$=\sqrt{3}\times \frac{50}{2}$
$=\sqrt{3}\times 25$
$=43.3$ મીટર

---

Example 97:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, जिसमें Hypotenuse $48$ મીટર છે. બાજુઓ શોધો.

Solution:
$a=\frac{Hypotenuse}{\sqrt{2}}$
$=\frac{48}{\sqrt{2}}$
$=33.94$ મીટર

---

Example 98:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે. Hypotenuse $18$ મીટર છે. Longer side શોધો.

Solution:
Longer side $=\sqrt{3}\times Shortestside$
$=\sqrt{3}\times \frac{18}{2}$
$=\sqrt{3}\times 9$
$=15.59$ મીટર

---

Example 99:

${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે. Hypotenuse $45$ મીટર છે. Longer side શોધો.

Solution:
Longer side $=\sqrt{3}\times Shortestside$
$=\sqrt{3}\times \frac{45}{2}$
$=\sqrt{3}\times 22.5$
$=38.97$ મીટર

---

Example 100:

${45}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$, અને ${90}^{\circ }$ ધરાવતો ત્રિભુજ છે, जिसमें Hypotenuse $60$ મીટર છે. બાજુઓ શોધો.

Solution:
$a=\frac{Hypotenuse}{\sqrt{2}}$
$=\frac{60}{\sqrt{2}}$
$=42.43$ મીટર