सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers)

Table of Contents

सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) ऐसी संख्याएँ होती हैं जो वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों से मिलकर बनी होती हैं। इन्हें सामान्य रूप से a+bi के रूप में लिखा जाता है, जहां a वास्तविक भाग (real part) और bi काल्पनिक भाग (imaginary part) होता है। यहां i वह संख्या है जिसे काल्पनिक इकाई (imaginary unit) कहा जाता है, और इसकी परिभाषा i2=−1 होती है।

सम्मिश्र संख्याओं का सामान्य रूप:

z=a+bi

यहां:

  • z सम्मिश्र संख्या है।
  • a वास्तविक भाग है।
  • b काल्पनिक भाग है।
  • i काल्पनिक इकाई है।

सम्मिश्र संख्याओं की विशेषताएँ:

  1. योजनागत रूप (Algebraic Form):
    • सम्मिश्र संख्या z=a+bi में, a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और i काल्पनिक भाग को व्यक्त करता है।
  2. योजक गुण: दो सम्मिश्र संख्याओं z1=a1+b1i और z2=a2+b2i का योग:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i
  3. घातांकीय गुण: दो सम्मिश्र संख्याओं z1=a1+b1i और z2=a2+b2i का गुणा:z1⋅z2=(a1a2–b1b2)+(a1b2+a2b1)i

उदाहरण 1:

z1=3+4i, z2=1+2i

योग:
z1+z2=(3+1)+(4+2)i
=4+6i

उदाहरण 2:

z1=2+3i, z2=−1+4i

योग:
z1+z2=(2–1)+(3+4)i
=1+7i

उदाहरण 3:

z1=5+6i, z2=2–3i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅2–6⋅(−3))+(5⋅(−3)+6⋅2)i
=(10+18)+(−15+12)i
=28–3i

उदाहरण 4:

z1=4+7i, z2=−3+5i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅(−3)–7⋅5)+(4⋅5+7⋅(−3))i
=(−12–35)+(20–21)i
=−47–i

उदाहरण 5:

z1=1+i, z2=−2+3i

गुणा:
z1⋅z2=(1⋅(−2)–1⋅3)+(1⋅3+1⋅(−2))i
=(−2–3)+(3–2)i
=−5+i

उदाहरण 6:

z1=3+5i, z2=2–i

योग:
z1+z2=(3+2)+(5–1)i
=5+4i

उदाहरण 7:

z1=6+i, z2=1+7i

गुणा:
z1⋅z2=(6⋅1–1⋅7)+(6⋅7+1⋅1)i
=(6–7)+(42+1)i
=−1+43i

उदाहरण 8:

z1=4+3i, z2=2–6i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅2–3⋅(−6))+(4⋅(−6)+3⋅2)i
=(8+18)+(−24+6)i
=26–18i

उदाहरण 9:

z1=−5+2i, z2=4+i

गुणा:
z1⋅z2=(−5⋅4–2⋅1)+(−5⋅1+2⋅4)i
=(−20–2)+(−5+8)i
=−22+3i

उदाहरण 10:

z1=3+i, z2=−3+2i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅(−3)–1⋅2)+(3⋅2+1⋅(−3))i
=(−9–2)+(6–3)i
=−11+3i

उदाहरण 11:

z1=7+4i, z2=−2+3i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅(−2)–4⋅3)+(7⋅3+4⋅(−2))i
=(−14–12)+(21–8)i
=−26+13i

उदाहरण 12:

z1=1+i, z2=3+5i

गुणा:
z1⋅z2=(1⋅3–1⋅5)+(1⋅5+1⋅3)i
=(3–5)+(5+3)i
=−2+8i

उदाहरण 13:

z1=2+7i, z2=4+i

गुणा:
z1⋅z2=(2⋅4–7⋅1)+(2⋅1+7⋅4)i
=(8–7)+(2+28)i
=1+30i

उदाहरण 14:

z1=5+2i, z2=−1+3i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅(−1)–2⋅3)+(5⋅3+2⋅(−1))i
=(−5–6)+(15–2)i
=−11+13i

उदाहरण 15:

z1=4+6i, z2=2+5i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅2–6⋅5)+(4⋅5+6⋅2)i
=(8–30)+(20+12)i
=−22+32i

उदाहरण 16:

z1=3+2i, z2=−4+i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅(−4)–2⋅1)+(3⋅1+2⋅(−4))i
=(−12–2)+(3–8)i
=−14–5i

उदाहरण 17:

z1=7+3i, z2=5+6i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅5–3⋅6)+(7⋅6+3⋅5)i
=(35–18)+(42+15)i
=17+57i

उदाहरण 18:

z1=2+4i, z2=6–3i

गुणा:
z1⋅z2=(2⋅6–4⋅(−3))+(2⋅(−3)+4⋅6)i
=(12+12)+(−6+24)i
=24+18i

उदाहरण 19:

z1=−3+5i, z2=2+i

गुणा:
z1⋅z2=(−3⋅2–5⋅1)+(−3⋅1+5⋅2)i
=(−6–5)+(−3+10)i
=−11+7i

उदाहरण 20:

z1=1+3i, z2=4+2i

गुणा:
z1⋅z2=(1⋅4–3⋅2)+(1⋅2+3⋅4)i
=(4–6)+(2+12)i
=−2+14i

उदाहरण 21:

z1=5+i, z2=−2+4i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅(−2)–1⋅4)+(5⋅4+1⋅(−2))i
=(−10–4)+(20–2)i
=−14+18i

उदाहरण 22:

z1=6+2i, z2=3+7i

गुणा:
z1⋅z2=(6⋅3–2⋅7)+(6⋅7+2⋅3)i
=(18–14)+(42+6)i
=4+48i

उदाहरण 23:

z1=4+3i, z2=5+5i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅5–3⋅5)+(4⋅5+3⋅5)i
=(20–15)+(20+15)i
=5+35i

उदाहरण 24:

z1=−3+2i, z2=1+4i

गुणा:
z1⋅z2=(−3⋅1–2⋅4)+(−3⋅4+2⋅1)i
=(−3–8)+(−12+2)i
=−11–10i

उदाहरण 25:

z1=7+2i, z2=3+3i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅3–2⋅3)+(7⋅3+2⋅3)i
=(21–6)+(21+6)i
=15+27i

उदाहरण 26:

z1=1+5i, z2=4–2i

गुणा:
z1⋅z2=(1⋅4–5⋅(−2))+(1⋅(−2)+5⋅4)i
=(4+10)+(−2+20)i
=14+18i

उदाहरण 27:

z1=8+i, z2=−3+5i

गुणा:
z1⋅z2=(8⋅(−3)–1⋅5)+(8⋅5+1⋅(−3))i
=(−24–5)+(40–3)i
=−29+37i

उदाहरण 28:

z1=2+6i, z2=1–2i

गुणा:
z1⋅z2=(2⋅1–6⋅(−2))+(2⋅(−2)+6⋅1)i
=(2+12)+(−4+6)i
=14+2i

उदाहरण 29:

z1=5+3i, z2=7+4i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅7–3⋅4)+(5⋅4+3⋅7)i
=(35–12)+(20+21)i
=23+41i

उदाहरण 30:

z1=−4+2i, z2=6+3i

गुणा:
z1⋅z2=(−4⋅6–2⋅3)+(−4⋅3+2⋅6)i
=(−24–6)+(−12+12)i
=−30+0i

उदाहरण 31:

z1=4+5i, z2=2–i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅2–5⋅(−1))+(4⋅(−1)+5⋅2)i
=(8+5)+(−4+10)i
=13+6i

उदाहरण 32:

z1=7+3i, z2=5+6i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅5–3⋅6)+(7⋅6+3⋅5)i
=(35–18)+(42+15)i
=17+57i

उदाहरण 33:

z1=−2+4i, z2=1+5i

गुणा:
z1⋅z2=(−2⋅1–4⋅5)+(−2⋅5+4⋅1)i
=(−2–20)+(−10+4)i
=−22–6i

उदाहरण 34:

z1=3+2i, z2=−3+i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅(−3)–2⋅1)+(3⋅1+2⋅(−3))i
=(−9–2)+(3–6)i
=−11–3i

उदाहरण 35:

z1=5+i, z2=−1+4i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅(−1)–1⋅4)+(5⋅4+1⋅(−1))i
=(−5–4)+(20–1)i
=−9+19i

उदाहरण 36:

z1=8+i, z2=2+3i

गुणा:
z1⋅z2=(8⋅2–1⋅3)+(8⋅3+1⋅2)i
=(16–3)+(24+2)i
=13+26i

उदाहरण 37:

z1=3+7i, z2=4+6i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅4–7⋅6)+(3⋅6+7⋅4)i
=(12–42)+(18+28)i
=−30+46i

उदाहरण 38:

z1=−2+6i, z2=1–3i

गुणा:
z1⋅z2=(−2⋅1–6⋅(−3))+(−2⋅(−3)+6⋅1)i
=(−2+18)+(6+6)i
=16+12i

उदाहरण 39:

z1=4+2i, z2=3+3i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅3–2⋅3)+(4⋅3+2⋅3)i
=(12–6)+(12+6)i
=6+18i

उदाहरण 40:

z1=5+i, z2=3–i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅3–1⋅(−1))+(5⋅(−1)+1⋅3)i
=(15+1)+(−5+3)i
=16–2i

उदाहरण 41:

z1=−3+4i, z2=2+5i

गुणा:
z1⋅z2=(−3⋅2–4⋅5)+(−3⋅5+4⋅2)i
=(−6–20)+(−15+8)i
=−26–7i

उदाहरण 42:

z1=7+2i, z2=3+i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅3–2⋅1)+(7⋅1+2⋅3)i
=(21–2)+(7+6)i
=19+13i

उदाहरण 43:

z1=1+6i, z2=−4+2i

गुणा:
z1⋅z2=(1⋅(−4)–6⋅2)+(1⋅2+6⋅(−4))i
=(−4–12)+(2–24)i
=−16–22i

उदाहरण 44:

z1=5+3i, z2=2–i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅2–3⋅(−1))+(5⋅(−1)+3⋅2)i
=(10+3)+(−5+6)i
=13+1i

उदाहरण 45:

z1=−2+7i, z2=3+4i

गुणा:
z1⋅z2=(−2⋅3–7⋅4)+(−2⋅4+7⋅3)i
=(−6–28)+(−8+21)i
=−34+13i

उदाहरण 46:

z1=4+5i, z2=−1+2i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅(−1)–5⋅2)+(4⋅2+5⋅(−1))i
=(−4–10)+(8–5)i
=−14+3i

उदाहरण 47:

z1=6+i, z2=2+3i

गुणा:
z1⋅z2=(6⋅2–1⋅3)+(6⋅3+1⋅2)i
=(12–3)+(18+2)i
=9+20i

उदाहरण 48:

z1=3+2i, z2=−2+4i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅(−2)–2⋅4)+(3⋅4+2⋅(−2))i
=(−6–8)+(12–4)i
=−14+8i

उदाहरण 49:

z1=7+3i, z2=5+2i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅5–3⋅2)+(7⋅2+3⋅5)i
=(35–6)+(14+15)i
=29+29i

उदाहरण 50:

z1=4+6i, z2=3+i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅3–6⋅1)+(4⋅1+6⋅3)i
=(12–6)+(4+18)i
=6+22i

उदाहरण 51:

z1=2+4i, z2=−1+3i

गुणा:
z1⋅z2=(2⋅(−1)–4⋅3)+(2⋅3+4⋅(−1))i
=(−2–12)+(6–4)i
=−14+2i

उदाहरण 52:

z1=5+7i, z2=4+3i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅4–7⋅3)+(5⋅3+7⋅4)i
=(20–21)+(15+28)i
=−1+43i

उदाहरण 53:

z1=−3+5i, z2=6+2i

गुणा:
z1⋅z2=(−3⋅6–5⋅2)+(−3⋅2+5⋅6)i
=(−18–10)+(−6+30)i
=−28+24i

उदाहरण 54:

z1=7+2i, z2=5+i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅5–2⋅1)+(7⋅1+2⋅5)i
=(35–2)+(7+10)i
=33+17i

उदाहरण 55:

z1=6+4i, z2=−1+3i

गुणा:
z1⋅z2=(6⋅(−1)–4⋅3)+(6⋅3+4⋅(−1))i
=(−6–12)+(18–4)i
=−18+14i

उदाहरण 56:

z1=4+5i, z2=2+i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅2–5⋅1)+(4⋅1+5⋅2)i
=(8–5)+(4+10)i
=3+14i

उदाहरण 57:

z1=8+3i, z2=7+i

गुणा:
z1⋅z2=(8⋅7–3⋅1)+(8⋅1+3⋅7)i
=(56–3)+(8+21)i
=53+29i

उदाहरण 58:

z1=−5+4i, z2=3+2i

गुणा:
z1⋅z2=(−5⋅3–4⋅2)+(−5⋅2+4⋅3)i
=(−15–8)+(−10+12)i
=−23+2i

उदाहरण 59:

z1=6+i, z2=2+5i

गुणा:
z1⋅z2=(6⋅2–1⋅5)+(6⋅5+1⋅2)i
=(12–5)+(30+2)i
=7+32i

उदाहरण 60:

z1=3+6i, z2=1+2i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅1–6⋅2)+(3⋅2+6⋅1)i
=(3–12)+(6+6)i
=−9+12i

उदाहरण 61:

z1=2+3i, z2=4–i

गुणा:
z1⋅z2=(2⋅4–3⋅(−1))+(2⋅(−1)+3⋅4)i
=(8+3)+(−2+12)i
=11+10i

उदाहरण 62:

z1=5+i, z2=6+3i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅6–1⋅3)+(5⋅3+1⋅6)i
=(30–3)+(15+6)i
=27+21i

उदाहरण 63:

z1=7+4i, z2=3+2i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅3–4⋅2)+(7⋅2+4⋅3)i
=(21–8)+(14+12)i
=13+26i

उदाहरण 64:

z1=−2+3i, z2=5+4i

गुणा:
z1⋅z2=(−2⋅5–3⋅4)+(−2⋅4+3⋅5)i
=(−10–12)+(−8+15)i
=−22+7i

उदाहरण 65:

z1=8+i, z2=2–3i

गुणा:
z1⋅z2=(8⋅2–1⋅(−3))+(8⋅(−3)+1⋅2)i
=(16+3)+(−24+2)i
=19–22i

उदाहरण 66:

z1=4+3i, z2=−2+4i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅(−2)–3⋅4)+(4⋅4+3⋅(−2))i
=(−8–12)+(16–6)i
=−20+10i

उदाहरण 67:

z1=3+2i, z2=6+i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅6–2⋅1)+(3⋅1+2⋅6)i
=(18–2)+(3+12)i
=16+15i

उदाहरण 68:

z1=5+i, z2=−1+4i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅(−1)–1⋅4)+(5⋅4+1⋅(−1))i
=(−5–4)+(20–1)i
=−9+19i

उदाहरण 69:

z1=7+5i, z2=3+6i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅3–5⋅6)+(7⋅6+5⋅3)i
=(21–30)+(42+15)i
=−9+57i

उदाहरण 70:

z1=−2+4i, z2=5+3i

गुणा:
z1⋅z2=(−2⋅5–4⋅3)+(−2⋅3+4⋅5)i
=(−10–12)+(−6+20)i
=−22+14i

उदाहरण 71:

z1=6+4i, z2=2+7i

गुणा:
z1⋅z2=(6⋅2–4⋅7)+(6⋅7+4⋅2)i
=(12–28)+(42+8)i
=−16+50i

उदाहरण 72:

z1=5+i, z2=−3+4i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅(−3)–1⋅4)+(5⋅4+1⋅(−3))i
=(−15–4)+(20–3)i
=−19+17i

उदाहरण 73:

z1=−4+2i, z2=3+i

गुणा:
z1⋅z2=(−4⋅3–2⋅1)+(−4⋅1+2⋅3)i
=(−12–2)+(−4+6)i
=−14+2i

उदाहरण 74:

z1=3+6i, z2=4–i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅4–6⋅(−1))+(3⋅(−1)+6⋅4)i
=(12+6)+(−3+24)i
=18+21i

उदाहरण 75:

z1=8+3i, z2=5+7i

गुणा:
z1⋅z2=(8⋅5–3⋅7)+(8⋅7+3⋅5)i
=(40–21)+(56+15)i
=19+71i

उदाहरण 76:

z1=2+i, z2=−4+6i

गुणा:
z1⋅z2=(2⋅(−4)–1⋅6)+(2⋅6+1⋅(−4))i
=(−8–6)+(12–4)i
=−14+8i

उदाहरण 77:

z1=7+4i, z2=2+5i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅2–4⋅5)+(7⋅5+4⋅2)i
=(14–20)+(35+8)i
=−6+43i

उदाहरण 78:

z1=4+6i, z2=−2+i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅(−2)–6⋅1)+(4⋅1+6⋅(−2))i
=(−8–6)+(4–12)i
=−14–8i

उदाहरण 79:

z1=5+3i, z2=4+4i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅4–3⋅4)+(5⋅4+3⋅4)i
=(20–12)+(20+12)i
=8+32i

उदाहरण 80:

z1=−3+7i, z2=6+2i

गुणा:
z1⋅z2=(−3⋅6–7⋅2)+(−3⋅2+7⋅6)i
=(−18–14)+(−6+42)i
=−32+36i

उदाहरण 81:

z1=1+3i, z2=−2+4i

गुणा:
z1⋅z2=(1⋅(−2)–3⋅4)+(1⋅4+3⋅(−2))i
=(−2–12)+(4–6)i
=−14–2i

उदाहरण 82:

z1=7+i, z2=3+5i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅3–1⋅5)+(7⋅5+1⋅3)i
=(21–5)+(35+3)i
=16+38i

उदाहरण 83:

z1=4+2i, z2=−3+i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅(−3)–2⋅1)+(4⋅1+2⋅(−3))i
=(−12–2)+(4–6)i
=−14–2i

उदाहरण 84:

z1=5+4i, z2=3+6i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅3–4⋅6)+(5⋅6+4⋅3)i
=(15–24)+(30+12)i
=−9+42i

उदाहरण 85:

z1=8+2i, z2=7+i

गुणा:
z1⋅z2=(8⋅7–2⋅1)+(8⋅1+2⋅7)i
=(56–2)+(8+14)i
=54+22i

उदाहरण 86:

z1=−4+5i, z2=2+3i

गुणा:
z1⋅z2=(−4⋅2–5⋅3)+(−4⋅3+5⋅2)i
=(−8–15)+(−12+10)i
=−23–2i

उदाहरण 87:

z1=3+i, z2=6+5i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅6–1⋅5)+(3⋅5+1⋅6)i
=(18–5)+(15+6)i
=13+21i

उदाहरण 88:

z1=6+3i, z2=−1+7i

गुणा:
z1⋅z2=(6⋅(−1)–3⋅7)+(6⋅7+3⋅(−1))i
=(−6–21)+(42–3)i
=−27+39i

उदाहरण 89:

z1=5+6i, z2=2+4i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅2–6⋅4)+(5⋅4+6⋅2)i
=(10–24)+(20+12)i
=−14+32i

उदाहरण 90:

z1=4+2i, z2=7+3i

गुणा:
z1⋅z2=(4⋅7–2⋅3)+(4⋅3+2⋅7)i
=(28–6)+(12+14)i
=22+26i

उदाहरण 91:

z1=−2+5i, z2=3+i

गुणा:
z1⋅z2=(−2⋅3–5⋅1)+(−2⋅1+5⋅3)i
=(−6–5)+(−2+15)i
=−11+13i

उदाहरण 92:

z1=6+i, z2=−3+4i

गुणा:
z1⋅z2=(6⋅(−3)–1⋅4)+(6⋅4+1⋅(−3))i
=(−18–4)+(24–3)i
=−22+21i

उदाहरण 93:

z1=7+5i, z2=2+i

गुणा:
z1⋅z2=(7⋅2–5⋅1)+(7⋅1+5⋅2)i
=(14–5)+(7+10)i
=9+17i

उदाहरण 94:

z1=−5+4i, z2=3+2i

गुणा:
z1⋅z2=(−5⋅3–4⋅2)+(−5⋅2+4⋅3)i
=(−15–8)+(−10+12)i
=−23+2i

उदाहरण 95:

z1=6+3i, z2=−2+5i

गुणा:
z1⋅z2=(6⋅(−2)–3⋅5)+(6⋅5+3⋅(−2))i
=(−12–15)+(30–6)i
=−27+24i

उदाहरण 96:

z1=5+i, z2=7+2i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅7–1⋅2)+(5⋅2+1⋅7)i
=(35–2)+(10+7)i
=33+17i

उदाहरण 97:

z1=3+4i, z2=−5+i

गुणा:
z1⋅z2=(3⋅(−5)–4⋅1)+(3⋅1+4⋅(−5))i
=(−15–4)+(3–20)i
=−19–17i

उदाहरण 98:

z1=−7+3i, z2=4+5i

गुणा:
z1⋅z2=(−7⋅4–3⋅5)+(−7⋅5+3⋅4)i
=(−28–15)+(−35+12)i
=−43–23i

उदाहरण 99:

z1=8+2i, z2=3+i

गुणा:
z1⋅z2=(8⋅3–2⋅1)+(8⋅1+2⋅3)i
=(24–2)+(8+6)i
=22+14i

उदाहरण 100:

z1=5+6i, z2=4+i

गुणा:
z1⋅z2=(5⋅4–6⋅1)+(5⋅1+6⋅4)i
=(20–6)+(5+24)i
=14+29i

Tags
adbhutah
adbhutah

adbhutah.com

Articles: 1294