ખંડિત વ્યંજકો અને સમીકરણો: સરળિકરણ અને ઉકેલવવાની પદ્ધતિઓ સાથે ઉદાહરણ

Table of Contents

રેશનલ વ્યંજક (Rational Expressions) શું છે?

ખંડિત વ્યંજક એ એવા વ્યંજક છે જેમાં અવ્યંજકોના ભાગફલ તરીકે વ્યંજક હોય છે. સામાન્ય રીતે, આને ભિન્નાકાર કે વિભાજ્ય સ્વરૂપે લખવામાં આવે છે, જ્યાં અવ્યંજક નોમિનેટર અને ડીનોમિનેટરમાં હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, $\frac{a}{b}$ એ ખંડિત વ્યંજક છે, જ્યાં $a$ અને $b$ વ્યંજક છે અને $b \neq 0$ હોવું જોઈએ.

ખંડિત સમીકરણ એ સમીકરણ છે જેમાં ખંડિત વ્યંજકોનો ઉપયોગ થાય છે. આવા સમીકરણોનું ઉકેલ હંમેશાં તે મૂલ્યો માટે શોધવું પડતું હોય છે જ્યાં ડીનોમિનેટર શૂન્ય ન બને.

ખંડિત વ્યંજકનું સરળિકરણ (Simplifying Rational Expressions):

ખંડિત વ્યંજકને સરળ બનાવવા માટે તમે તેનાં અવયવોને ફેક્ટર કરશો અને સામાન્ય તત્વો દૂર કરી સમીકરણને ખંડિત કરી શકો છો. આમ, તમે ખંડિત વ્યંજકોને સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં પાડી શકો છો.

ખંડિત વ્યંજકોના ઉદાહરણો અને ઉકેલો (Examples and Solutions)

Example 1: ખંડિત વ્યંજક $\frac{15 x^{2}}{5 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{15 x^{2}}{5 x} = \frac{15}{5} \times \frac{x^{2}}{x}$
$= 3 x$

Example 2: ખંડિત વ્યંજક $\frac{8 x^{3} + 4 x^{2}}{4 x^{2}}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{8 x^{3} + 4 x^{2}}{4 x^{2}} = \frac{4 x^{2} (2 x + 1)}{4 x^{2}}$
$= 2 x + 1$

Example 3: ખંડિત વ્યંજક $\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{3 x} = \frac{3 x (2 x - 4)}{3 x}$
$= 2 x - 4$

Example 4: ખંડિત વ્યંજક $\frac{10 x^{2} - 5 x}{5 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{10 x^{2} - 5 x}{5 x} = \frac{5 x (2 x - 1)}{5 x}$
$= 2 x - 1$

Example 5: ખંડિત વ્યંજક $\frac{9 x^{2} - 27 x}{3 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{9 x^{2} - 27 x}{3 x} = \frac{3 x (3 x - 9)}{3 x}$
$= 3 x - 9$

ખંડિત સમીકરણ (Rational Equations)

ખંડિત સમીકરણ એ સમીકરણ છે જેમાં ખંડિત વ્યંજકનો ઉપયોગ થાય છે. ખંડિત સમીકરણો ઉકેલવા માટે, તમે સમીકરણના બંને બાજુઓમાંના ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરો. તમારા સમીકરણમાં, શૂન્ય બનાવવા માટે તમે ડિનોમિનેટર્સને ગુણાકારમાં લઈ શકો છો.

ખંડિત સમીકરણોના ઉદાહરણો અને ઉકેલો (Examples and Solutions)

Example 6: સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$ ઉકેલો.
Solution:
આ સમીકરણમાં ડિનોમિનેટર્સ 4 છે.
બધા તારણોને $4$ થી ગુણો:
$4 \times (\frac{x}{2}) + 4 \times (\frac{3}{4}) = 4 \times (\frac{5}{4})$
$2 x + 3 = 5$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$2 x = 5 - 3$
$2 x = 2$
$x = 1$

Example 7: સમીકરણ $\frac{3 x + 4}{5} = \frac{2 x - 1}{4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $20$ થી ગુણો:
$20 \times \frac{3 x + 4}{5} = 20 \times \frac{2 x - 1}{4}$
$4 (3 x + 4) = 5 (2 x - 1)$
$12 x + 16 = 10 x - 5$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$12 x - 10 x = - 5 - 16$
$2 x = - 21$
$x = - \frac{21}{2}$

Example 8: સમીકરણ $\frac{5 x}{6} + \frac{7}{4} = \frac{3}{2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $12$ થી ગુણો:
$12 \times (\frac{5 x}{6}) + 12 \times (\frac{7}{4}) = 12 \times (\frac{3}{2})$
$10 x + 21 = 18$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$10 x = 18 - 21$
$10 x = - 3$
$x = - \frac{3}{10}$

Example 9: સમીકરણ $\frac{x + 2}{3} = \frac{2 x + 1}{5}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $15$ થી ગુણો:
$15 \times (\frac{x + 2}{3}) = 15 \times (\frac{2 x + 1}{5})$
$5 (x + 2) = 3 (2 x + 1)$
$5 x + 10 = 6 x + 3$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x - 6 x = 3 - 10$
$- x = - 7$
$x = 7$

Example 10: સમીકરણ $\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} = 1$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 1) (x - 2)$ થી ગુણો:
$(x - 2) + (x - 1) = (x - 1) (x - 2)$
$2 x - 3 = x^{2} - 3 x + 2$
બધા $x$ ને એક બાજુ એકત્રિત કરો:
$x^{2} - 5 x + 5 = 0$

હવે ચકાસો કે સમીકરણ કયા રીતે ઉકેલાય છે.

Example 11: સમીકરણ $\frac{2 x + 1}{x - 3} = \frac{x + 4}{x - 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે બંને બાજુઓ $(x - 3) (x - 2)$ થી ગુણો:
$(2 x + 1) (x - 2) = (x + 4) (x - 3)$
$2 x (x - 2) + 1 (x - 2) = x (x - 3) + 4 (x - 3)$
$2 x^{2} - 4 x + x - 2 = x^{2} - 3 x + 4 x - 12$
$2 x^{2} - 3 x - 2 = x^{2} + x - 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$2 x^{2} - x^{2} - 3 x - x = - 12 + 2$
$x^{2} - 4 x + 10 = 0$

Answer: This quadratic equation can be solved using the quadratic formula.

Example 12: સમીકરણ $\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x + 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ થી ગુણો:
$(x + 2) (x + 3) \times x + (x + 1) (x + 3) \times 2 = (x + 1) (x + 2) \times 3$
$x (x + 2) (x + 3) + 2 (x + 1) (x + 3) = 3 (x + 1) (x + 2)$
હવે દરેક અવયવને ફેલાવો અને સરળ કરો:
$x (x^{2} + 5 x + 6) + 2 (x^{2} + 4 x + 3) = 3 (x^{2} + 3 x + 2)$
$x^{3} + 5 x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 8 x + 6 = 3 x^{2} + 9 x + 6$
$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 6 = 3 x^{2} + 9 x + 6$

હવે $x^{2}$ અને $x$ ને સમીકરણની બાજુઓ પર ગોઠવો:
$x^{3} + 4 x^{2} + 5 x = 0$

Example 13: ખંડિત વ્યંજક $\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1}$ ને સરળ કરો.
Solution:
સૌપ્રથમ, $x^{2} - 1$ નો ફેક્ટર $(x - 1) (x + 1)$ છે.
અત્યાર બાદ, જો સંકેત ફેરફાર કરતાં, આપણે કોઈ સામાન્ય તત્વ શોધી શકીએ છીએ:
$\frac{3 x (x - \frac{2}{3})}{(x - 1) (x + 1)}$

Answer: $\frac{3 x (x - \frac{2}{3})}{(x - 1) (x + 1)}$

Example 14: સમીકરણ $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{x - 3}{x + 4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 1) (x + 4)$ થી બંને બાજુઓને ગુણો:
$(x + 2) (x + 4) = (x - 3) (x - 1)$
$x^{2} + 6 x + 8 = x^{2} - 4 x + 3$

$x^{2}$ ને સમીકરણમાંથી કાઢો:
$6 x + 8 = - 4 x + 3$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$6 x + 4 x = 3 - 8$
$10 x = - 5$
$x = - \frac{1}{2}$

Example 15: સમીકરણ $\frac{4 x - 1}{x^{2} + 1} = \frac{5}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x^{2} + 1) (x - 3)$ થી બંને બાજુઓને ગુણો:
$(4 x - 1) (x - 3) = 5 (x^{2} + 1)$
$4 x (x - 3) - 1 (x - 3) = 5 x^{2} + 5$
$4 x^{2} - 12 x - x + 3 = 5 x^{2} + 5$
$4 x^{2} - x^{2} - 12 x - x = 5 - 3$
$3 x^{2} - 13 x = 2$

Example 16: સમીકરણ $\frac{2 x + 3}{3 x - 2} = \frac{4}{x + 5}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(3 x - 2) (x + 5)$ થી ગુણો:
$(2 x + 3) (x + 5) = 4 (3 x - 2)$
$2 x (x + 5) + 3 (x + 5) = 4 (3 x - 2)$
$2 x^{2} + 10 x + 3 x + 15 = 12 x - 8$
$2 x^{2} + 13 x + 15 = 12 x - 8$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$2 x^{2} + 13 x - 12 x = - 8 - 15$
$2 x^{2} + x = - 23$

Example 17: ખંડિત વ્યંજક $\frac{9 x^{3} - 3 x^{2}}{3 x^{2}}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{9 x^{3} - 3 x^{2}}{3 x^{2}} = \frac{3 x^{2} (3 x - 1)}{3 x^{2}}$
$= 3 x - 1$

Example 18: સમીકરણ $\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x^{2} - 1}$ ઉકેલો.
Solution:
$x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ એટલે કે, ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x^{2} - 1)$ થી ગુણો:
$(x) (x - 1) + (1) (x + 1) = 2$
$x^{2} - x + x + 1 = 2$
$x^{2} + 1 = 2$
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$

Example 19: સમીકરણ $\frac{2 x}{x^{2} - 4} = \frac{1}{x - 2}$ ઉકેલો.
Solution:
$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$
બન્ને બાજુઓ $(x - 2)$ થી ગુણો:
$\frac{2 x}{(x + 2)} = 1$
$2 x = x + 2$
$2 x - x = 2$
$x = 2$

Example 20: સમીકરણ $\frac{5 x}{x - 2} = 10$ ઉકેલો.
Solution:
બન્ને બાજુઓ $(x - 2)$ થી ગુણો:
$5 x = 10 (x - 2)$
$5 x = 10 x - 20$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x - 10 x = - 20$
$- 5 x = - 20$
$x = 4$

Example 21: સમીકરણ $\frac{7 x + 3}{x + 2} = \frac{5}{2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $2 (x + 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$2 (7 x + 3) = 5 (x + 2)$
$14 x + 6 = 5 x + 10$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$14 x - 5 x = 10 - 6$
$9 x = 4$
$x = \frac{4}{9}$

Example 22: સમીકરણ $\frac{3 x}{x + 4} - \frac{2 x}{x - 4} = 0$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 4) (x - 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$3 x (x - 4) - 2 x (x + 4) = 0$
$3 x^{2} - 12 x - 2 x^{2} - 8 x = 0$
$x^{2} - 20 x = 0$
$x (x - 20) = 0$
$x = 0$ અથવા $x = 20$

Example 23: સમીકરણ $\frac{4 x}{x + 5} + \frac{5 x}{x - 5} = 9$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 5) (x - 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$4 x (x - 5) + 5 x (x + 5) = 9 (x^{2} - 25)$
$4 x^{2} - 20 x + 5 x^{2} + 25 x = 9 x^{2} - 225$
$9 x^{2} + 5 x = 9 x^{2} - 225$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x = - 225$
$x = - 45$

Example 24: સમીકરણ $\frac{5 x}{x + 3} - \frac{2}{x - 3} = 1$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 3) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$5 x (x - 3) - 2 (x + 3) = (x + 3) (x - 3)$
$5 x^{2} - 15 x - 2 x - 6 = x^{2} - 9$
$5 x^{2} - 17 x - 6 = x^{2} - 9$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - x^{2} - 17 x = - 9 + 6$
$4 x^{2} - 17 x + 3 = 0$

Answer: This quadratic equation can be solved using the quadratic formula.

Example 25: સમીકરણ $\frac{6 x}{x - 2} + \frac{4}{x + 2} = 3$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 2) (x + 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$6 x (x + 2) + 4 (x - 2) = 3 (x^{2} - 4)$
$6 x^{2} + 12 x + 4 x - 8 = 3 x^{2} - 12$
$6 x^{2} + 16 x - 8 = 3 x^{2} - 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$6 x^{2} - 3 x^{2} + 16 x = - 12 + 8$
$3 x^{2} + 16 x + 4 = 0$

Example 26: સમીકરણ $\frac{x + 3}{x - 4} = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 4) (2 x + 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(x + 3) (2 x + 1) = (3 x - 2) (x - 4)$
$x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) = 3 x (x - 4) - 2 (x - 4)$
$2 x^{2} + x + 6 x + 3 = 3 x^{2} - 12 x - 2 x + 8$
$2 x^{2} + 7 x + 3 = 3 x^{2} - 14 x + 8$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$2 x^{2} - 3 x^{2} + 7 x + 14 x = 8 - 3$
$- x^{2} + 21 x - 5 = 0$

Example 27: ખંડિત વ્યંજક $\frac{4 x^{2} - 16 x}{x (x - 4)}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{4 x^{2} - 16 x}{x (x - 4)} = \frac{4 x (x - 4)}{x (x - 4)}$
$= 4$

Example 28: સમીકરણ $\frac{2 x - 1}{x + 2} = \frac{4 x + 3}{x - 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(2 x - 1) (x - 1) = (4 x + 3) (x + 2)$
$2 x (x - 1) - 1 (x - 1) = 4 x (x + 2) + 3 (x + 2)$
$2 x^{2} - 2 x - x + 1 = 4 x^{2} + 8 x + 3 x + 6$
$2 x^{2} - 3 x + 1 = 4 x^{2} + 11 x + 6$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$2 x^{2} - 4 x^{2} - 3 x - 11 x = 6 - 1$
$- 2 x^{2} - 14 x + 5 = 0$

Example 29: સમીકરણ $\frac{7 x}{x - 5} + \frac{3}{x + 5} = 2$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 5) (x + 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$7 x (x + 5) + 3 (x - 5) = 2 (x^{2} - 25)$
$7 x^{2} + 35 x + 3 x - 15 = 2 x^{2} - 50$
$7 x^{2} + 38 x - 15 = 2 x^{2} - 50$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$7 x^{2} - 2 x^{2} + 38 x = - 50 + 15$
$5 x^{2} + 38 x + 35 = 0$

Example 30: સમીકરણ $\frac{4 x + 5}{x - 2} = \frac{2 x - 3}{x + 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 2) (x + 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(4 x + 5) (x + 3) = (2 x - 3) (x - 2)$
$4 x (x + 3) + 5 (x + 3) = 2 x (x - 2) - 3 (x - 2)$
$4 x^{2} + 12 x + 5 x + 15 = 2 x^{2} - 4 x - 3 x + 6$
$4 x^{2} + 17 x + 15 = 2 x^{2} - 7 x + 6$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$4 x^{2} - 2 x^{2} + 17 x + 7 x = 6 - 15$
$ 2

Example 31: સમીકરણ $\frac{x + 1}{x - 3} + \frac{x - 2}{x + 4} = \frac{5}{x - 12}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 3) (x + 4) (x - 12)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(x + 1) (x + 4) (x - 12) + (x - 2) (x - 3) (x - 12) = 5 (x - 3) (x + 4)$
હવે દરેક તત્વને ફેલાવો અને સરખીધારો:
$(x^{2} + 5 x + 4) (x - 12) + (x^{2} - 5 x + 6) (x - 12) = 5 (x^{2} + x - 12)$
ફેલાવો અને સરળ કરો:
$(x^{3} - 12 x^{2} + 5 x^{2} - 60 x + 4 x - 48) + (x^{3} - 12 x^{2} - 5 x^{2} + 60 x + 6 x - 72) = 5 (x^{2} + x - 12)$
$2 x^{3} - 17 x^{2} + 4 x - 120 = 5 x^{2} + 5 x - 60$
હવે $x$ માટે ઉકેલો.

Example 32: સમીકરણ $\frac{3 x + 2}{x - 4} = \frac{4 x + 3}{x + 5}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 4) (x + 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(3 x + 2) (x + 5) = (4 x + 3) (x - 4)$
$3 x (x + 5) + 2 (x + 5) = 4 x (x - 4) + 3 (x - 4)$
$3 x^{2} + 15 x + 2 x + 10 = 4 x^{2} - 16 x + 3 x - 12$
$3 x^{2} + 17 x + 10 = 4 x^{2} - 13 x - 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$3 x^{2} - 4 x^{2} + 17 x + 13 x = - 12 - 10$
$- x^{2} + 30 x + 22 = 0$

Example 33: ખંડિત વ્યંજક $\frac{6 x^{2} + 9 x}{3 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{6 x^{2} + 9 x}{3 x} = \frac{3 x (2 x + 3)}{3 x}$
$= 2 x + 3$

Example 34: સમીકરણ $\frac{2 x}{x - 5} - \frac{3 x}{x + 2} = 0$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 5) (x + 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$2 x (x + 2) - 3 x (x - 5) = 0$
$2 x^{2} + 4 x - 3 x^{2} + 15 x = 0$
$- x^{2} + 19 x = 0$
$x (x - 19) = 0$
$x = 0$ અથવા $x = 19$

Example 35: સમીકરણ $\frac{5 x}{x - 1} + \frac{7}{x + 1} = \frac{3}{x}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 1) (x + 1) (x)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$5 x (x + 1) + 7 x (x - 1) = 3 (x^{2} - 1)$
$5 x^{2} + 5 x + 7 x^{2} - 7 x = 3 x^{2} - 3$
$12 x^{2} - 2 x = 3 x^{2} - 3$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$12 x^{2} - 3 x^{2} - 2 x = - 3$
$9 x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Example 36: ખંડિત વ્યંજક $\frac{10 x^{2} - 15 x}{5 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{10 x^{2} - 15 x}{5 x} = \frac{5 x (2 x - 3)}{5 x}$
$= 2 x - 3$

Example 37: સમીકરણ $\frac{2 x + 1}{x + 3} = \frac{x + 4}{x - 5}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 3) (x - 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(2 x + 1) (x - 5) = (x + 4) (x + 3)$
$2 x (x - 5) + 1 (x - 5) = (x + 4) (x + 3)$
$2 x^{2} - 10 x + x - 5 = x^{2} + 7 x + 12$
$2 x^{2} - 9 x - 5 = x^{2} + 7 x + 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$2 x^{2} - x^{2} - 9 x - 7 x = 12 + 5$
$x^{2} - 16 x - 17 = 0$

Example 38: ખંડિત વ્યંજક $\frac{9 x^{2} - 6 x}{3 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{9 x^{2} - 6 x}{3 x} = \frac{3 x (3 x - 2)}{3 x}$
$= 3 x - 2$

Example 39: સમીકરણ $\frac{3 x}{x + 2} - \frac{2}{x - 3} = \frac{1}{x + 4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 3) (x + 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$3 x (x - 3) (x + 4) - 2 (x + 2) (x + 4) = (x - 3) (x + 2)$
$3 x (x^{2} + x - 12) - 2 (x^{2} + 6 x + 8) = (x^{2} - x - 6)$
હવે દરેક તત્વને ફેલાવો અને સરખીધારો:
$3 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x - 2 x^{2} - 12 x - 16 = x^{2} - x - 6$
$3 x^{3} + x^{2} - 48 x - 16 = x^{2} - x - 6$
હવે $x$ માટે ઉકેલો.

Example 40: ખંડિત વ્યંજક $\frac{12 x^{2} - 8 x}{4 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{12 x^{2} - 8 x}{4 x} = \frac{4 x (3 x - 2)}{4 x}$
$= 3 x - 2$

Example 41: સમીકરણ $\frac{2 x}{x - 4} + \frac{3 x}{x + 5} = 1$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 4) (x + 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$2 x (x + 5) + 3 x (x - 4) = (x - 4) (x + 5)$
$2 x^{2} + 10 x + 3 x^{2} - 12 x = x^{2} + x - 20$
$5 x^{2} - 2 x = x^{2} + x - 20$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - x^{2} - 2 x - x = - 20$
$4 x^{2} - 3 x + 20 = 0$

Example 42: સમીકરણ $\frac{5 x - 2}{x + 3} = \frac{4 x + 1}{x - 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 3) (x - 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x - 2) (x - 1) = (4 x + 1) (x + 3)$
$5 x (x - 1) - 2 (x - 1) = 4 x (x + 3) + 1 (x + 3)$
$5 x^{2} - 5 x - 2 x + 2 = 4 x^{2} + 12 x + x + 3$
$5 x^{2} - 7 x + 2 = 4 x^{2} + 13 x + 3$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 4 x^{2} - 7 x - 13 x = 3 - 2$
$x^{2} - 20 x + 1 = 0$

Example 43: સમીકરણ $\frac{6 x}{x + 4} - \frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x + 6}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 4) (x - 2) (x + 6)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$6 x (x - 2) (x + 6) - 3 (x + 4) (x + 6) = 5 (x + 4) (x - 2)$
ફેલાવો અને સરખીધારો:
$6 x (x^{2} + 4 x - 12) - 3 (x^{2} + 10 x + 24) = 5 (x^{2} + 2 x - 8)$
$6 x^{3} + 24 x^{2} - 72 x - 3 x^{2} - 30 x - 72 = 5 x^{2} + 10 x - 40$
$6 x^{3} + 21 x^{2} - 102 x - 72 = 5 x^{2} + 10 x - 40$

હવે $x$ માટે ઉકેલો.

Example 44: ખંડિત વ્યંજક $\frac{15 x^{2} - 10 x}{5 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{15 x^{2} - 10 x}{5 x} = \frac{5 x (3 x - 2)}{5 x}$
$= 3 x - 2$

Example 45: સમીકરણ $\frac{3 x + 5}{x - 2} = \frac{2 x + 7}{x + 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 2) (x + 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(3 x + 5) (x + 3) = (2 x + 7) (x - 2)$
$3 x (x + 3) + 5 (x + 3) = 2 x (x - 2) + 7 (x - 2)$
$3 x^{2} + 9 x + 5 x + 15 = 2 x^{2} - 4 x + 7 x - 14$
$3 x^{2} + 14 x + 15 = 2 x^{2} + 3 x - 14$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$3 x^{2} - 2 x^{2} + 14 x - 3 x = - 14 - 15$
$x^{2} + 11 x - 29 = 0$
આ ગણિત માટે ચકાસો કે શું તે પૂર્ણ ગણક છે અથવા ક્વાડ્રેટિક ફોર્મ્યુલા ઉપયોગમાં લો.

Example 46: સમીકરણ $\frac{5 x - 4}{x + 1} = \frac{3 x - 2}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 1) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x - 4) (x - 3) = (3 x - 2) (x + 1)$
$5 x (x - 3) - 4 (x - 3) = 3 x (x + 1) - 2 (x + 1)$
$5 x^{2} - 15 x - 4 x + 12 = 3 x^{2} + 3 x - 2 x - 2$
$5 x^{2} - 19 x + 12 = 3 x^{2} + x - 2$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 3 x^{2} - 19 x - x = - 2 - 12$
$2 x^{2} - 20 x + 10 = 0$

Example 47: ખંડિત વ્યંજક $\frac{4 x^{2} - 16 x}{4 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{4 x^{2} - 16 x}{4 x} = \frac{4 x (x - 4)}{4 x}$
$= x - 4$

Example 48: સમીકરણ $\frac{2 x}{x + 3} + \frac{3 x}{x - 4} = 1$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 3) (x - 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$2 x (x - 4) + 3 x (x + 3) = (x + 3) (x - 4)$
$2 x^{2} - 8 x + 3 x^{2} + 9 x = x^{2} - x - 12$
$5 x^{2} + x = x^{2} - x - 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - x^{2} + x + x = - 12$
$4 x^{2} + 2 x + 12 = 0$

Example 49: સમીકરણ $\frac{x + 2}{x - 5} = \frac{2 x + 3}{x + 4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 5) (x + 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(x + 2) (x + 4) = (2 x + 3) (x - 5)$
$x (x + 4) + 2 (x + 4) = 2 x (x - 5) + 3 (x - 5)$
$x^{2} + 4 x + 2 x + 8 = 2 x^{2} - 10 x + 3 x - 15$
$x^{2} + 6 x + 8 = 2 x^{2} - 7 x - 15$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$x^{2} - 2 x^{2} + 6 x + 7 x = - 15 - 8$
$- x^{2} + 13 x + 23 = 0$

Example 50: સમીકરણ $\frac{4 x + 3}{x + 2} = \frac{5 x - 1}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(4 x + 3) (x - 3) = (5 x - 1) (x + 2)$
$4 x (x - 3) + 3 (x - 3) = 5 x (x + 2) - 1 (x + 2)$
$4 x^{2} - 12 x + 3 x - 9 = 5 x^{2} + 10 x - x - 2$
$4 x^{2} - 9 x - 9 = 5 x^{2} + 9 x - 2$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$4 x^{2} - 5 x^{2} - 9 x - 9 x = - 2 + 9$
$- x^{2} - 18 x + 7 = 0$

Example 51: ખંડિત વ્યંજક $\frac{8 x^{2} - 24 x}{4 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{8 x^{2} - 24 x}{4 x} = \frac{4 x (2 x - 6)}{4 x}$
$= 2 x - 6$

Example 52: સમીકરણ $\frac{3 x}{x + 4} - \frac{2}{x - 1} = \frac{5}{x + 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 4) (x - 1) (x + 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$3 x (x - 1) (x + 3) - 2 (x + 4) (x + 3) = 5 (x + 4) (x - 1)$
ફેલાવો અને સરખીધારો:
$3 x (x^{2} + 2 x - 3) - 2 (x^{2} + 7 x + 12) = 5 (x^{2} + 3 x - 4)$
$3 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 2 x^{2} - 14 x - 24 = 5 x^{2} + 15 x - 20$
$3 x^{3} + 4 x^{2} - 23 x - 24 = 5 x^{2} + 15 x - 20$

હવે $x$ માટે ઉકેલો.

Example 53: સમીકરણ $\frac{7 x}{x + 2} = \frac{4 x + 5}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$7 x (x - 3) = (4 x + 5) (x + 2)$
$7 x^{2} - 21 x = 4 x^{2} + 8 x + 5 x + 10$
$7 x^{2} - 21 x = 4 x^{2} + 13 x + 10$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$7 x^{2} - 4 x^{2} - 21 x - 13 x = 10$
$3 x^{2} - 34 x - 10 = 0$

Example 54: ખંડિત વ્યંજક $\frac{6 x^{2} - 18 x}{2 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{6 x^{2} - 18 x}{2 x} = \frac{2 x (3 x - 9)}{2 x}$
$= 3 x - 9$

Example 55: સમીકરણ $\frac{5 x - 3}{x + 1} = \frac{2 x + 7}{x - 4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 1) (x - 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x - 3) (x - 4) = (2 x + 7) (x + 1)$
$5 x (x - 4) - 3 (x - 4) = 2 x (x + 1) + 7 (x + 1)$
$5 x^{2} - 20 x - 3 x + 12 = 2 x^{2} + 2 x + 7 x + 7$
$5 x^{2} - 23 x + 12 = 2 x^{2} + 9 x + 7$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 2 x^{2} - 23 x - 9 x = 7 - 12$
$3 x^{2} - 32 x - 5 = 0$

Example 56: ખંડિત વ્યંજક $\frac{9 x^{2} - 27 x}{3 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{9 x^{2} - 27 x}{3 x} = \frac{3 x (3 x - 9)}{3 x}$
$= 3 x - 9$

Example 57: સમીકરણ $\frac{4 x}{x + 2} - \frac{3 x}{x - 3} = 2$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$4 x (x - 3) - 3 x (x + 2) = 2 (x + 2) (x - 3)$
$4 x^{2} - 12 x - 3 x^{2} - 6 x = 2 (x^{2} - x - 6)$
$4 x^{2} - 3 x^{2} - 18 x = 2 x^{2} - 2 x - 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$x^{2} - 18 x = 2 x^{2} - 2 x - 12$

Example 58: સમીકરણ $\frac{5 x + 7}{x + 4} = \frac{6 x - 2}{x - 5}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 4) (x - 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x + 7) (x - 5) = (6 x - 2) (x + 4)$
$5 x (x - 5) + 7 (x - 5) = 6 x (x + 4) - 2 (x + 4)$
$5 x^{2} - 25 x + 7 x - 35 = 6 x^{2} + 24 x - 2 x - 8$
$5 x^{2} - 18 x - 35 = 6 x^{2} + 22 x - 8$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 6 x^{2} - 18 x - 22 x = - 8 + 35$
$- x^{2} - 40 x + 27 = 0$

Example 59: ખંડિત વ્યંજક $\frac{12 x^{2} - 36 x}{6 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{12 x^{2} - 36 x}{6 x} = \frac{6 x (2 x - 6)}{6 x}$
$= 2 x - 6$

Example 60: સમીકરણ $\frac{7 x + 3}{x - 1} = \frac{4 x + 2}{x + 5}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 1) (x + 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(7 x + 3) (x + 5) = (4 x + 2) (x - 1)$
$7 x (x + 5) + 3 (x + 5) = 4 x (x - 1) + 2 (x - 1)$
$7 x^{2} + 35 x + 3 x + 15 = 4 x^{2} - 4 x + 2 x - 2$
$7 x^{2} + 38 x + 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$7 x^{2} - 4 x^{2} + 38 x + 2 x = - 2 - 15$
$3 x^{2} + 40 x + 17 = 0$

Example 61: સમીકરણ $\frac{5 x - 2}{x + 3} = \frac{3 x + 4}{x - 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 3) (x - 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x - 2) (x - 2) = (3 x + 4) (x + 3)$
$5 x (x - 2) - 2 (x - 2) = 3 x (x + 3) + 4 (x + 3)$
$5 x^{2} - 10 x - 2 x + 4 = 3 x^{2} + 9 x + 4 x + 12$
$5 x^{2} - 12 x + 4 = 3 x^{2} + 13 x + 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 3 x^{2} - 12 x - 13 x = 12 - 4$
$2 x^{2} - 25 x + 8 = 0$
હવે ક્વાડ્રેટિક ફોર્મ્યુલા ઉપયોગમાં લો.

Example 62: સમીકરણ $\frac{4 x + 5}{x + 1} = \frac{2 x - 3}{x - 4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 1) (x - 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(4 x + 5) (x - 4) = (2 x - 3) (x + 1)$
$4 x (x - 4) + 5 (x - 4) = 2 x (x + 1) - 3 (x + 1)$
$4 x^{2} - 16 x + 5 x - 20 = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3$
$4 x^{2} - 11 x - 20 = 2 x^{2} - x - 3$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$4 x^{2} - 2 x^{2} - 11 x + x = - 3 + 20$
$2 x^{2} - 10 x + 17 = 0$

Example 63: સમીકરણ $\frac{6 x + 2}{x - 5} = \frac{4 x + 7}{x + 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 5) (x + 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(6 x + 2) (x + 3) = (4 x + 7) (x - 5)$
$6 x (x + 3) + 2 (x + 3) = 4 x (x - 5) + 7 (x - 5)$
$6 x^{2} + 18 x + 2 x + 6 = 4 x^{2} - 20 x + 7 x - 35$
$6 x^{2} + 20 x + 6 = 4 x^{2} - 13 x - 35$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$6 x^{2} - 4 x^{2} + 20 x + 13 x = - 35 - 6$
$2 x^{2} + 33 x + 41 = 0$

Example 64: સમીકરણ $\frac{2 x + 3}{x + 2} = \frac{3 x + 5}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(2 x + 3) (x - 3) = (3 x + 5) (x + 2)$
$2 x (x - 3) + 3 (x - 3) = 3 x (x + 2) + 5 (x + 2)$
$2 x^{2} - 6 x + 3 x - 9 = 3 x^{2} + 6 x + 5 x + 10$
$2 x^{2} - 3 x - 9 = 3 x^{2} + 11 x + 10$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 x - 11 x = 10 + 9$
$- x^{2} - 14 x + 19 = 0$

Example 65: સમીકરણ $\frac{3 x + 4}{x - 2} = \frac{5 x + 1}{x + 5}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 2) (x + 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(3 x + 4) (x + 5) = (5 x + 1) (x - 2)$
$3 x (x + 5) + 4 (x + 5) = 5 x (x - 2) + 1 (x - 2)$
$3 x^{2} + 15 x + 4 x + 20 = 5 x^{2} - 10 x + x - 2$
$3 x^{2} + 19 x + 20 = 5 x^{2} - 9 x - 2$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$3 x^{2} - 5 x^{2} + 19 x + 9 x = - 2 - 20$
$- 2 x^{2} + 28 x - 22 = 0$

Example 66: ખંડિત વ્યંજક $\frac{10 x^{2} - 20 x}{5 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{10 x^{2} - 20 x}{5 x} = \frac{5 x (2 x - 4)}{5 x}$
$= 2 x - 4$

Example 67: સમીકરણ $\frac{4 x + 7}{x - 3} = \frac{2 x + 5}{x + 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 3) (x + 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(4 x + 7) (x + 1) = (2 x + 5) (x - 3)$
$4 x (x + 1) + 7 (x + 1) = 2 x (x - 3) + 5 (x - 3)$
$4 x^{2} + 4 x + 7 x + 7 = 2 x^{2} - 6 x + 5 x - 15$
$4 x^{2} + 11 x + 7 = 2 x^{2} - x - 15$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$4 x^{2} - 2 x^{2} + 11 x + x = - 15 - 7$
$2 x^{2} + 12 x + 22 = 0$

Example 68: સમીકરણ $\frac{6 x + 3}{x + 4} = \frac{4 x - 5}{x - 6}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 4) (x - 6)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(6 x + 3) (x - 6) = (4 x - 5) (x + 4)$
$6 x (x - 6) + 3 (x - 6) = 4 x (x + 4) - 5 (x + 4)$
$6 x^{2} - 36 x + 3 x - 18 = 4 x^{2} + 16 x - 5 x - 20$
$6 x^{2} - 33 x - 18 = 4 x^{2} + 11 x - 20$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$6 x^{2} - 4 x^{2} - 33 x - 11 x = - 20 + 18$
$2 x^{2} - 44 x - 2 = 0$

Example 69: સમીકરણ $\frac{5 x + 2}{x + 3} = \frac{3 x + 4}{x - 4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 3) (x - 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x + 2) (x - 4) = (3 x + 4) (x + 3)$
$5 x (x - 4) + 2 (x - 4) = 3 x (x + 3) + 4 (x + 3)$
$5 x^{2} - 20 x + 2 x - 8 = 3 x^{2} + 9 x + 4 x + 12$
$5 x^{2} - 18 x - 8 = 3 x^{2} + 13 x + 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 3 x^{2} - 18 x - 13 x = 12 + 8$
$2 x^{2} - 31 x + 20 = 0$

Example 70: સમીકરણ $\frac{7 x + 5}{x + 2} = \frac{4 x + 3}{x - 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(7 x + 5) (x - 1) = (4 x + 3) (x + 2)$
$7 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 4 x (x + 2) + 3 (x + 2)$
$7 x^{2} - 7 x + 5 x - 5 = 4 x^{2} + 8 x + 3 x + 6$
$7 x^{2} - 2 x - 5 = 4 x^{2} + 11 x + 6$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$7 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x - 11 x = 6 + 5$
$3 x^{2} - 13 x + 11 = 0$

Example 71: સમીકરણ $\frac{2 x + 1}{x - 5} = \frac{3 x + 2}{x + 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 5) (x + 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(2 x + 1) (x + 3) = (3 x + 2) (x - 5)$
$2 x (x + 3) + 1 (x + 3) = 3 x (x - 5) + 2 (x - 5)$
$2 x^{2} + 6 x + x + 3 = 3 x^{2} - 15 x + 2 x - 10$
$2 x^{2} + 7 x + 3 = 3 x^{2} - 13 x - 10$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$2 x^{2} - 3 x^{2} + 7 x + 13 x = - 10 - 3$
$- x^{2} + 20 x - 13 = 0$

Example 72: સમીકરણ $\frac{3 x - 2}{x + 4} = \frac{4 x + 5}{x - 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 4) (x - 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(3 x - 2) (x - 1) = (4 x + 5) (x + 4)$
$3 x (x - 1) - 2 (x - 1) = 4 x (x + 4) + 5 (x + 4)$
$3 x^{2} - 3 x - 2 x + 2 = 4 x^{2} + 16 x + 5 x + 20$
$3 x^{2} - 5 x + 2 = 4 x^{2} + 21 x + 20$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$3 x^{2} - 4 x^{2} - 5 x - 21 x = 20 - 2$
$- x^{2} - 26 x + 18 = 0$

Example 73: સમીકરણ $\frac{5 x + 3}{x + 1} = \frac{7 x + 2}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 1) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x + 3) (x - 3) = (7 x + 2) (x + 1)$
$5 x (x - 3) + 3 (x - 3) = 7 x (x + 1) + 2 (x + 1)$
$5 x^{2} - 15 x + 3 x - 9 = 7 x^{2} + 7 x + 2 x + 2$
$5 x^{2} - 12 x - 9 = 7 x^{2} + 9 x + 2$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 7 x^{2} - 12 x - 9 x = 2 + 9$
$- 2 x^{2} - 21 x + 11 = 0$

Example 74: સમીકરણ $\frac{6 x - 5}{x - 2} = \frac{8 x + 3}{x + 5}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 2) (x + 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(6 x - 5) (x + 5) = (8 x + 3) (x - 2)$
$6 x (x + 5) - 5 (x + 5) = 8 x (x - 2) + 3 (x - 2)$
$6 x^{2} + 30 x - 5 x - 25 = 8 x^{2} - 16 x + 3 x - 6$
$6 x^{2} + 25 x - 25 = 8 x^{2} - 13 x - 6$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$6 x^{2} - 8 x^{2} + 25 x + 13 x = - 6 + 25$
$- 2 x^{2} + 38 x + 19 = 0$

Example 75: સમીકરણ $\frac{4 x + 7}{x - 1} = \frac{5 x + 3}{x + 4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 1) (x + 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(4 x + 7) (x + 4) = (5 x + 3) (x - 1)$
$4 x (x + 4) + 7 (x + 4) = 5 x (x - 1) + 3 (x - 1)$
$4 x^{2} + 16 x + 7 x + 28 = 5 x^{2} - 5 x + 3 x - 3$
$4 x^{2} + 23 x + 28 = 5 x^{2} - 2 x - 3$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$4 x^{2} - 5 x^{2} + 23 x + 2 x = - 3 - 28$
$- x^{2} + 25 x - 31 = 0$

Example 76: સમીકરણ $\frac{7 x - 3}{x + 2} = \frac{5 x + 4}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(7 x - 3) (x - 3) = (5 x + 4) (x + 2)$
$7 x (x - 3) - 3 (x - 3) = 5 x (x + 2) + 4 (x + 2)$
$7 x^{2} - 21 x - 3 x + 9 = 5 x^{2} + 10 x + 4 x + 8$
$7 x^{2} - 24 x + 9 = 5 x^{2} + 14 x + 8$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$7 x^{2} - 5 x^{2} - 24 x - 14 x = 8 - 9$
$2 x^{2} - 38 x - 1 = 0$

Example 77: સમીકરણ $\frac{6 x + 5}{x - 1} = \frac{4 x + 3}{x + 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 1) (x + 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(6 x + 5) (x + 2) = (4 x + 3) (x - 1)$
$6 x (x + 2) + 5 (x + 2) = 4 x (x - 1) + 3 (x - 1)$
$6 x^{2} + 12 x + 5 x + 10 = 4 x^{2} - 4 x + 3 x - 3$
$6 x^{2} + 17 x + 10 = 4 x^{2} - x - 3$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$6 x^{2} - 4 x^{2} + 17 x + x = - 3 - 10$
$2 x^{2} + 18 x - 13 = 0$

Example 78: સમીકરણ $\frac{5 x + 2}{x + 3} = \frac{3 x + 4}{x - 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 3) (x - 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x + 2) (x - 2) = (3 x + 4) (x + 3)$
$5 x (x - 2) + 2 (x - 2) = 3 x (x + 3) + 4 (x + 3)$
$5 x^{2} - 10 x + 2 x - 4 = 3 x^{2} + 9 x + 4 x + 12$
$5 x^{2} - 8 x - 4 = 3 x^{2} + 13 x + 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 3 x^{2} - 8 x - 13 x = 12 + 4$
$2 x^{2} - 21 x + 16 = 0$

Example 79: સમીકરણ $\frac{4 x + 1}{x + 4} = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 4) (x - 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(4 x + 1) (x - 1) = (2 x + 3) (x + 4)$
$4 x (x - 1) + 1 (x - 1) = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$
$4 x^{2} - 4 x + x - 1 = 2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$
$4 x^{2} - 3 x - 1 = 2 x^{2} + 11 x + 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$4 x^{2} - 2 x^{2} - 3 x - 11 x = 12 + 1$
$2 x^{2} - 14 x + 13 = 0$

Example 80: સમીકરણ $\frac{3 x + 5}{x + 2} = \frac{4 x + 1}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(3 x + 5) (x - 3) = (4 x + 1) (x + 2)$
$3 x (x - 3) + 5 (x - 3) = 4 x (x + 2) + 1 (x + 2)$
$3 x^{2} - 9 x + 5 x - 15 = 4 x^{2} + 8 x + x + 2$
$3 x^{2} - 4 x - 15 = 4 x^{2} + 9 x + 2$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$3 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x - 9 x = 2 + 15$
$- x^{2} - 13 x + 17 = 0$

Example 81: ખંડિત વ્યંજક $\frac{14 x^{2} - 28 x}{7 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{14 x^{2} - 28 x}{7 x} = \frac{7 x (2 x - 4)}{7 x}$
$= 2 x - 4$

Example 82: સમીકરણ $\frac{5 x + 4}{x - 2} = \frac{6 x - 3}{x + 5}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 2) (x + 5)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x + 4) (x + 5) = (6 x - 3) (x - 2)$
$5 x (x + 5) + 4 (x + 5) = 6 x (x - 2) - 3 (x - 2)$
$5 x^{2} + 25 x + 4 x + 20 = 6 x^{2} - 12 x - 3 x + 6$
$5 x^{2} + 29 x + 20 = 6 x^{2} - 15 x + 6$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 6 x^{2} + 29 x + 15 x = 6 - 20$
$- x^{2} + 44 x - 14 = 0$

Example 83: સમીકરણ $\frac{7 x + 6}{x + 2} = \frac{8 x - 5}{x - 4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(7 x + 6) (x - 4) = (8 x - 5) (x + 2)$
$7 x (x - 4) + 6 (x - 4) = 8 x (x + 2) - 5 (x + 2)$
$7 x^{2} - 28 x + 6 x - 24 = 8 x^{2} + 16 x - 5 x - 10$
$7 x^{2} - 22 x - 24 = 8 x^{2} + 11 x - 10$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$7 x^{2} - 8 x^{2} - 22 x - 11 x = - 10 + 24$
$- x^{2} - 33 x + 14 = 0$

Example 84: સમીકરણ $\frac{9 x + 2}{x + 4} = \frac{5 x + 3}{x - 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 4) (x - 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(9 x + 2) (x - 1) = (5 x + 3) (x + 4)$
$9 x (x - 1) + 2 (x - 1) = 5 x (x + 4) + 3 (x + 4)$
$9 x^{2} - 9 x + 2 x - 2 = 5 x^{2} + 20 x + 3 x + 12$
$9 x^{2} - 7 x - 2 = 5 x^{2} + 23 x + 12$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$9 x^{2} - 5 x^{2} - 7 x - 23 x = 12 + 2$
$4 x^{2} - 30 x + 14 = 0$

Example 85: સમીકરણ $\frac{10 x + 7}{x + 5} = \frac{3 x + 8}{x - 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 5) (x - 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(10 x + 7) (x - 2) = (3 x + 8) (x + 5)$
$10 x (x - 2) + 7 (x - 2) = 3 x (x + 5) + 8 (x + 5)$
$10 x^{2} - 20 x + 7 x - 14 = 3 x^{2} + 15 x + 8 x + 40$
$10 x^{2} - 13 x - 14 = 3 x^{2} + 23 x + 40$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$10 x^{2} - 3 x^{2} - 13 x - 23 x = 40 + 14$
$7 x^{2} - 36 x + 54 = 0$

Example 86: સમીકરણ $\frac{8 x + 3}{x - 1} = \frac{4 x + 7}{x + 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 1) (x + 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(8 x + 3) (x + 2) = (4 x + 7) (x - 1)$
$8 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 4 x (x - 1) + 7 (x - 1)$
$8 x^{2} + 16 x + 3 x + 6 = 4 x^{2} - 4 x + 7 x - 7$
$8 x^{2} + 19 x + 6 = 4 x^{2} + 3 x - 7$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$8 x^{2} - 4 x^{2} + 19 x - 3 x = - 7 - 6$
$4 x^{2} + 16 x - 13 = 0$

Example 87: સમીકરણ $\frac{6 x + 4}{x - 3} = \frac{5 x + 2}{x + 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 3) (x + 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(6 x + 4) (x + 1) = (5 x + 2) (x - 3)$
$6 x (x + 1) + 4 (x + 1) = 5 x (x - 3) + 2 (x - 3)$
$6 x^{2} + 6 x + 4 x + 4 = 5 x^{2} - 15 x + 2 x - 6$
$6 x^{2} + 10 x + 4 = 5 x^{2} - 13 x - 6$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$6 x^{2} - 5 x^{2} + 10 x + 13 x = - 6 - 4$
$x^{2} + 23 x + 10 = 0$

Example 88: સમીકરણ $\frac{7 x + 5}{x - 1} = \frac{3 x + 4}{x + 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 1) (x + 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(7 x + 5) (x + 3) = (3 x + 4) (x - 1)$
$7 x (x + 3) + 5 (x + 3) = 3 x (x - 1) + 4 (x - 1)$
$7 x^{2} + 21 x + 5 x + 15 = 3 x^{2} - 3 x + 4 x - 4$
$7 x^{2} + 26 x + 15 = 3 x^{2} + x - 4$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$7 x^{2} - 3 x^{2} + 26 x - x = - 4 - 15$
$4 x^{2} + 25 x - 19 = 0$

Example 89: સમીકરણ $\frac{9 x + 4}{x + 1} = \frac{5 x + 7}{x - 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 1) (x - 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(9 x + 4) (x - 2) = (5 x + 7) (x + 1)$
$9 x (x - 2) + 4 (x - 2) = 5 x (x + 1) + 7 (x + 1)$
$9 x^{2} - 18 x + 4 x - 8 = 5 x^{2} + 5 x + 7 x + 7$
$9 x^{2} - 14 x - 8 = 5 x^{2} + 12 x + 7$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$9 x^{2} - 5 x^{2} - 14 x - 12 x = 7 + 8$
$4 x^{2} - 26 x + 15 = 0$

Example 90: સમીકરણ $\frac{8 x + 6}{x - 2} = \frac{4 x + 5}{x + 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 2) (x + 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(8 x + 6) (x + 3) = (4 x + 5) (x - 2)$
$8 x (x + 3) + 6 (x + 3) = 4 x (x - 2) + 5 (x - 2)$
$8 x^{2} + 24 x + 6 x + 18 = 4 x^{2} - 8 x + 5 x - 10$
$8 x^{2} + 30 x + 18 = 4 x^{2} - 3 x - 10$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$8 x^{2} - 4 x^{2} + 30 x + 3 x = - 10 - 18$
$4 x^{2} + 33 x - 28 = 0$

Example 91: ખંડિત વ્યંજક $\frac{12 x^{2} - 36 x}{6 x}$ ને સરળ કરો.
Solution:
$\frac{12 x^{2} - 36 x}{6 x} = \frac{6 x (2 x - 6)}{6 x}$
$= 2 x - 6$

Example 92: સમીકરણ $\frac{6 x + 7}{x + 4} = \frac{4 x + 2}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 4) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(6 x + 7) (x - 3) = (4 x + 2) (x + 4)$
$6 x (x - 3) + 7 (x - 3) = 4 x (x + 4) + 2 (x + 4)$
$6 x^{2} - 18 x + 7 x - 21 = 4 x^{2} + 16 x + 2 x + 8$
$6 x^{2} - 11 x - 21 = 4 x^{2} + 18 x + 8$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$6 x^{2} - 4 x^{2} - 11 x - 18 x = 8 + 21$
$2 x^{2} - 29 x + 29 = 0$

Example 93: સમીકરણ $\frac{7 x + 4}{x + 1} = \frac{3 x + 5}{x - 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 1) (x - 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(7 x + 4) (x - 2) = (3 x + 5) (x + 1)$
$7 x (x - 2) + 4 (x - 2) = 3 x (x + 1) + 5 (x + 1)$
$7 x^{2} - 14 x + 4 x - 8 = 3 x^{2} + 3 x + 5 x + 5$
$7 x^{2} - 10 x - 8 = 3 x^{2} + 8 x + 5$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$7 x^{2} - 3 x^{2} - 10 x - 8 x = 5 + 8$
$4 x^{2} - 18 x + 13 = 0$

Example 94: સમીકરણ $\frac{5 x + 3}{x - 4} = \frac{6 x + 7}{x + 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 4) (x + 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x + 3) (x + 2) = (6 x + 7) (x - 4)$
$5 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 6 x (x - 4) + 7 (x - 4)$
$5 x^{2} + 10 x + 3 x + 6 = 6 x^{2} - 24 x + 7 x - 28$
$5 x^{2} + 13 x + 6 = 6 x^{2} - 17 x - 28$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 6 x^{2} + 13 x + 17 x = - 28 - 6$
$- x^{2} + 30 x - 34 = 0$

Example 95: સમીકરણ $\frac{8 x + 7}{x + 3} = \frac{4 x + 6}{x - 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 3) (x - 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(8 x + 7) (x - 2) = (4 x + 6) (x + 3)$
$8 x (x - 2) + 7 (x - 2) = 4 x (x + 3) + 6 (x + 3)$
$8 x^{2} - 16 x + 7 x - 14 = 4 x^{2} + 12 x + 6 x + 18$
$8 x^{2} - 9 x - 14 = 4 x^{2} + 18 x + 18$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$8 x^{2} - 4 x^{2} - 9 x - 18 x = 18 + 14$
$4 x^{2} - 27 x + 32 = 0$

Example 96: સમીકરણ $\frac{9 x + 5}{x + 2} = \frac{7 x + 3}{x - 1}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 2) (x - 1)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(9 x + 5) (x - 1) = (7 x + 3) (x + 2)$
$9 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 7 x (x + 2) + 3 (x + 2)$
$9 x^{2} - 9 x + 5 x - 5 = 7 x^{2} + 14 x + 3 x + 6$
$9 x^{2} - 4 x - 5 = 7 x^{2} + 17 x + 6$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$9 x^{2} - 7 x^{2} - 4 x - 17 x = 6 + 5$
$2 x^{2} - 21 x + 11 = 0$

Example 97: સમીકરણ $\frac{10 x + 7}{x - 4} = \frac{6 x + 9}{x + 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 4) (x + 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(10 x + 7) (x + 2) = (6 x + 9) (x - 4)$
$10 x (x + 2) + 7 (x + 2) = 6 x (x - 4) + 9 (x - 4)$
$10 x^{2} + 20 x + 7 x + 14 = 6 x^{2} - 24 x + 9 x - 36$
$10 x^{2} + 27 x + 14 = 6 x^{2} - 15 x - 36$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$10 x^{2} - 6 x^{2} + 27 x + 15 x = - 36 - 14$
$4 x^{2} + 42 x - 50 = 0$

Example 98: સમીકરણ $\frac{5 x + 9}{x + 3} = \frac{4 x + 8}{x - 2}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 3) (x - 2)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(5 x + 9) (x - 2) = (4 x + 8) (x + 3)$
$5 x (x - 2) + 9 (x - 2) = 4 x (x + 3) + 8 (x + 3)$
$5 x^{2} - 10 x + 9 x - 18 = 4 x^{2} + 12 x + 8 x + 24$
$5 x^{2} - x - 18 = 4 x^{2} + 20 x + 24$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$5 x^{2} - 4 x^{2} - x - 20 x = 24 + 18$
$x^{2} - 21 x + 42 = 0$

Example 99: સમીકરણ $\frac{6 x + 3}{x + 1} = \frac{8 x + 2}{x - 3}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x + 1) (x - 3)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(6 x + 3) (x - 3) = (8 x + 2) (x + 1)$
$6 x (x - 3) + 3 (x - 3) = 8 x (x + 1) + 2 (x + 1)$
$6 x^{2} - 18 x + 3 x - 9 = 8 x^{2} + 8 x + 2 x + 2$
$6 x^{2} - 15 x - 9 = 8 x^{2} + 10 x + 2$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$6 x^{2} - 8 x^{2} - 15 x - 10 x = 2 + 9$
$- 2 x^{2} - 25 x + 11 = 0$

Example 100: સમીકરણ $\frac{7 x + 5}{x - 2} = \frac{5 x + 3}{x + 4}$ ઉકેલો.
Solution:
ડિનોમિનેટર્સને દૂર કરવા માટે $(x - 2) (x + 4)$ થી બન્ને બાજુઓ ગુણો:
$(7 x + 5) (x + 4) = (5 x + 3) (x - 2)$
$7 x (x + 4) + 5 (x + 4) = 5 x (x - 2) + 3 (x - 2)$
$7 x^{2} + 28 x + 5 x + 20 = 5 x^{2} - 10 x + 3 x - 6$
$7 x^{2} + 33 x + 20 = 5 x^{2} - 7 x - 6$
હવે $x$ માટે ઉકેલો:
$7 x^{2} - 5 x^{2} + 33 x + 7 x = - 6 - 20$
$2 x^{2} + 40 x - 26 = 0$

ખંડિત વ્યંજકો અને સમીકરણો (Rational Expressions and Equations)

ખંડિત વ્યંજકોના ઉદાહરણો અને ઉકેલો (Examples and Solutions)

ખંડિત સમીકરણોના ઉદાહરણો અને ઉકેલો (Examples and Solutions)

Related

adbhutah