ત્રિકોણમિતિના ગ્રાફ્સ

ત્રિકોણમિતિના ગ્રાફ્સમાં, આપણે વિવિધ ત્રિકોણમિતીય કાર્યના આલેખો વિષે સમજૂતી કરીશું. મુખ્ય ત્રિકોણમિતીય કાર્યો છે: સાઇન (સિનθ), કોશાઇન (કોસθ), અને ટેન્જન્ટ (ટેનθ). આ કાર્યોના ગ્રાફ્સ ત્રિકોણમિતીય ખૂણાઓના પરિવર્તનો સાથે બદલાતા હોય છે.

સાઇન કાર્યોના ગ્રાફ (સિનθ)

સાઇન ફંક્શન એ ત્રિકોણમિતિનું મહત્વપૂર્ણ કાર્ય છે, જેનો આલેખ ત્રિકોણમિતીય ખૂણાના મૂળ પર આધારિત છે. આનો આલેખ રેવલ્યુશન (ચક્રીય) હોય છે, જેમાં પોઈન્ટ્સ પીરિયોડિક રીતે દોહરાતા હોય છે.

કોશાઇન કાર્યોના ગ્રાફ (કોસθ)

કોશાઇન ફંક્શન સિનθના આલેખથી સમાન છે, પણ તે 90°થી શિફ્ટ કરેલું હોય છે. કોશાઇન ગ્રાફની લંબાઈ અને ઊંચાઈની હદ એ જ છે જે સાઇન ફંક્શનમાં હોય છે.

ટેન્જન્ટ કાર્યોના ગ્રાફ (ટેનθ)

ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખો અનંતમાં પહોંચતા હોય છે, જેનું મૂળ અનંતની તરફ ચળી જાય છે.

ઉદાહરણ 1: સાઇન કાર્યોનો ગ્રાફ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta =0^{\circ }$
$\sin (0^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={90}^{\circ }$
$\sin ({90}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={180}^{\circ }$
$\sin ({180}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta =0^{\circ }$, $\theta ={90}^{\circ }$, અને $\theta ={180}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 2: કોશાઇન કાર્યોનો ગ્રાફ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta =0^{\circ }$
$\cos (0^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={90}^{\circ }$
$\cos ({90}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={180}^{\circ }$
$\cos ({180}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta =0^{\circ }$, $\theta ={90}^{\circ }$, અને $\theta ={180}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 3: ટેન્જન્ટ કાર્યોનો ગ્રાફ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta =0^{\circ }$
$\tan (0^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={45}^{\circ }$
$\tan ({45}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={90}^{\circ }$
$\tan ({90}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનનો આલેખ $\theta =0^{\circ }$, $\theta ={45}^{\circ }$, અને $\theta ={90}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 4: સાઇન કાર્યોના ગ્રાફના માપના ઉદાહરણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={30}^{\circ }$
$\sin ({30}^{\circ })=0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={60}^{\circ }$
$\sin ({60}^{\circ })=0.866$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={120}^{\circ }$
$\sin ({120}^{\circ })=0.866$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={30}^{\circ }$, $\theta ={60}^{\circ }$, અને $\theta ={120}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 5: કોશાઇન કાર્યોના ગ્રાફનો ઉદાહરણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={30}^{\circ }$
$\cos ({30}^{\circ })=0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={60}^{\circ }$
$\cos ({60}^{\circ })=0.5$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={120}^{\circ }$
$\cos ({120}^{\circ })=-0.5$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={30}^{\circ }$, $\theta ={60}^{\circ }$, અને $\theta ={120}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 6: ટેન્જન્ટ કાર્યોના ગ્રાફનું ઉદાહરણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={30}^{\circ }$
$\tan ({30}^{\circ })=0.577$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={60}^{\circ }$
$\tan ({60}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={120}^{\circ }$
$\tan ({120}^{\circ })=-1.732$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={30}^{\circ }$, $\theta ={60}^{\circ }$, અને $\theta ={120}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 7: સાઇન ફંક્શનના પરિવર્તનો અને આલેખ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={210}^{\circ }$
$\sin ({210}^{\circ })=-0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={270}^{\circ }$
$\sin ({270}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={330}^{\circ }$
$\sin ({330}^{\circ })=-0.5$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={210}^{\circ }$, $\theta ={270}^{\circ }$, અને $\theta ={330}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 8: કોશાઇન કાર્યોના ગ્રાફના પરિવર્તન

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={210}^{\circ }$
$\cos ({210}^{\circ })=-0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={270}^{\circ }$
$\cos ({270}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={330}^{\circ }$
$\cos ({330}^{\circ })=0.866$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={210}^{\circ }$, $\theta ={270}^{\circ }$, અને $\theta ={330}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 9: ટેન્જન્ટ કાર્યોના ગ્રાફના પરિવર્તન

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={210}^{\circ }$
$\tan ({210}^{\circ })=0.577$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={270}^{\circ }$
$\tan ({270}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={330}^{\circ }$
$\tan ({330}^{\circ })=-0.577$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={210}^{\circ }$, $\theta ={270}^{\circ }$, અને $\theta ={330}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 10: સાઇન ફંક્શનના ગ્રાફ માટે અન્ય કટકઓ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\sin ({360}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={450}^{\circ }$
$\sin ({450}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={540}^{\circ }$
$\sin ({540}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={360}^{\circ }$, $\theta ={450}^{\circ }$, અને $\theta ={540}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 11: કોશાઇન ફંક્શનના ગ્રાફ માટે કટક

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\cos ({360}^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={450}^{\circ }$
$\cos ({450}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={540}^{\circ }$
$\cos ({540}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={360}^{\circ }$, $\theta ={450}^{\circ }$, અને $\theta ={540}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 12: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\tan ({360}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={450}^{\circ }$
$\tan ({450}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={540}^{\circ }$
$\tan ({540}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={360}^{\circ }$, $\theta ={450}^{\circ }$, અને $\theta ={540}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 13: સેકન્ટ ફંક્શનના ગ્રાફના કટકો

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta =0^{\circ }$
$\sec (0^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={90}^{\circ }$
$\sec ({90}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={180}^{\circ }$
$\sec ({180}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta =0^{\circ }$, $\theta ={90}^{\circ }$, અને $\theta ={180}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 14: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખના કટકો

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={30}^{\circ }$
$\csc ({30}^{\circ })=2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={90}^{\circ }$
$\csc ({90}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={180}^{\circ }$
$\csc ({180}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={30}^{\circ }$, $\theta ={90}^{\circ }$, અને $\theta ={180}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 15: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખના કટકો

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={30}^{\circ }$
$\cot ({30}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={90}^{\circ }$
$\cot ({90}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={150}^{\circ }$
$\cot ({150}^{\circ })=-1.732$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={30}^{\circ }$, $\theta ={90}^{\circ }$, અને $\theta ={150}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 16: સાઇન ફંક્શનના પરિમાણો સાથે ગ્રાફનું સંચાલન

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={270}^{\circ }$
$\sin ({270}^{\circ })=-1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\sin ({360}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={450}^{\circ }$
$\sin ({450}^{\circ })=1$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={270}^{\circ }$, $\theta ={360}^{\circ }$, અને $\theta ={450}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 17: કોશાઇન ફંક્શનના પરિવર્તન સાથેના આલેખ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={270}^{\circ }$
$\cos ({270}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\cos ({360}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={450}^{\circ }$
$\cos ({450}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={270}^{\circ }$, $\theta ={360}^{\circ }$, અને $\theta ={450}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 18: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={270}^{\circ }$
$\tan ({270}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\tan ({360}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={450}^{\circ }$
$\tan ({450}^{\circ })=1$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={270}^{\circ }$, $\theta ={360}^{\circ }$, અને $\theta ={450}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 19: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખ સાથેના કટકો

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta =0^{\circ }$
$\sec (0^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={90}^{\circ }$
$\sec ({90}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={180}^{\circ }$
$\sec ({180}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta =0^{\circ }$, $\theta ={90}^{\circ }$, અને $\theta ={180}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 20: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં પરિવર્તન

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={30}^{\circ }$
$\csc ({30}^{\circ })=2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={90}^{\circ }$
$\csc ({90}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={180}^{\circ }$
$\csc ({180}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={30}^{\circ }$, $\theta ={90}^{\circ }$, અને $\theta ={180}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 21: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનો વિમર્શ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={45}^{\circ }$
$\cot ({45}^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={90}^{\circ }$
$\cot ({90}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={135}^{\circ }$
$\cot ({135}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={45}^{\circ }$, $\theta ={90}^{\circ }$, અને $\theta ={135}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 22: સાઇન ફંક્શનના આલેખના નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={300}^{\circ }$
$\sin ({300}^{\circ })=-0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\sin ({360}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={420}^{\circ }$
$\sin ({420}^{\circ })=0.5$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={300}^{\circ }$, $\theta ={360}^{\circ }$, અને $\theta ={420}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 23: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખ સાથે કટકનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={300}^{\circ }$
$\cos ({300}^{\circ })=0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\cos ({360}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={420}^{\circ }$
$\cos ({420}^{\circ })=0.866$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={300}^{\circ }$, $\theta ={360}^{\circ }$, અને $\theta ={420}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 24: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={300}^{\circ }$
$\tan ({300}^{\circ })=0.577$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\tan ({360}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={420}^{\circ }$
$\tan ({420}^{\circ })=0.577$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={300}^{\circ }$, $\theta ={360}^{\circ }$, અને $\theta ={420}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 25: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={300}^{\circ }$
$\sec ({300}^{\circ })=1.154$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\sec ({360}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={420}^{\circ }$
$\sec ({420}^{\circ })=1.154$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={300}^{\circ }$, $\theta ={360}^{\circ }$, અને $\theta ={420}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 26: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={300}^{\circ }$
$\csc ({300}^{\circ })=-2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\csc ({360}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={420}^{\circ }$
$\csc ({420}^{\circ })=2$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={300}^{\circ }$, $\theta ={360}^{\circ }$, અને $\theta ={420}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 27: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={300}^{\circ }$
$\cot ({300}^{\circ })=-1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={360}^{\circ }$
$\cot ({360}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={420}^{\circ }$
$\cot ({420}^{\circ })=1.732$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={300}^{\circ }$, $\theta ={360}^{\circ }$, અને $\theta ={420}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 28: સાઇન ફંક્શનના આલેખનો વિમર્શ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={510}^{\circ }$
$\sin ({510}^{\circ })=0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={540}^{\circ }$
$\sin ({540}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={570}^{\circ }$
$\sin ({570}^{\circ })=-0.866$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનનો આલેખ $\theta ={510}^{\circ }$, $\theta ={540}^{\circ }$, અને $\theta ={570}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 29: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખના કટકો

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={510}^{\circ }$
$\cos ({510}^{\circ })=-0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={540}^{\circ }$
$\cos ({540}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={570}^{\circ }$
$\cos ({570}^{\circ })=-0.5$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={510}^{\circ }$, $\theta ={540}^{\circ }$, અને $\theta ={570}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 30: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={510}^{\circ }$
$\tan ({510}^{\circ })=-1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={540}^{\circ }$
$\tan ({540}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={570}^{\circ }$
$\tan ({570}^{\circ })=1.732$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={510}^{\circ }$, $\theta ={540}^{\circ }$, અને $\theta ={570}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 31: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={510}^{\circ }$
$\sec ({510}^{\circ })=-2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={540}^{\circ }$
$\sec ({540}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={570}^{\circ }$
$\sec ({570}^{\circ })=-2$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={510}^{\circ }$, $\theta ={540}^{\circ }$, અને $\theta ={570}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 32: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={510}^{\circ }$
$\csc ({510}^{\circ })=1.154$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={540}^{\circ }$
$\csc ({540}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={570}^{\circ }$
$\csc ({570}^{\circ })=-1.154$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={510}^{\circ }$, $\theta ={540}^{\circ }$, અને $\theta ={570}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 33: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={510}^{\circ }$
$\cot ({510}^{\circ })=-1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={540}^{\circ }$
$\cot ({540}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={570}^{\circ }$
$\cot ({570}^{\circ })=1.732$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={510}^{\circ }$, $\theta ={540}^{\circ }$, અને $\theta ={570}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ હોય છે.

---

ઉદાહરણ 34: સાઇન ફંક્શનના આલેખનો વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={600}^{\circ }$
$\sin ({600}^{\circ })=0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={630}^{\circ }$
$\sin ({630}^{\circ })=-0.5$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={660}^{\circ }$
$\sin ({660}^{\circ })=-0.866$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={600}^{\circ }$, $\theta ={630}^{\circ }$, અને $\theta ={660}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 35: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={600}^{\circ }$
$\cos ({600}^{\circ })=0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={630}^{\circ }$
$\cos ({630}^{\circ })=-0.866$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={660}^{\circ }$
$\cos ({660}^{\circ })=-0.5$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={600}^{\circ }$, $\theta ={630}^{\circ }$, અને $\theta ={660}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 36: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={600}^{\circ }$
$\tan ({600}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={630}^{\circ }$
$\tan ({630}^{\circ })=-0.577$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={660}^{\circ }$
$\tan ({660}^{\circ })=-1.732$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={600}^{\circ }$, $\theta ={630}^{\circ }$, અને $\theta ={660}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 37: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={600}^{\circ }$
$\sec ({600}^{\circ })=2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={630}^{\circ }$
$\sec ({630}^{\circ })=-1.154$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={660}^{\circ }$
$\sec ({660}^{\circ })=-2$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={600}^{\circ }$, $\theta ={630}^{\circ }$, અને $\theta ={660}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 38: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={600}^{\circ }$
$\csc ({600}^{\circ })=1.154$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={630}^{\circ }$
$\csc ({630}^{\circ })=-2$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={660}^{\circ }$
$\csc ({660}^{\circ })=-1.154$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={600}^{\circ }$, $\theta ={630}^{\circ }$, અને $\theta ={660}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 39: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={600}^{\circ }$
$\cot ({600}^{\circ })=0.577$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={630}^{\circ }$
$\cot ({630}^{\circ })=-1.732$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={660}^{\circ }$
$\cot ({660}^{\circ })=-0.577$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={600}^{\circ }$, $\theta ={630}^{\circ }$, અને $\theta ={660}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 40: સાઇન ફંક્શનના આલેખના નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={720}^{\circ }$
$\sin ({720}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={810}^{\circ }$
$\sin ({810}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={900}^{\circ }$
$\sin ({900}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={720}^{\circ }$, $\theta ={810}^{\circ }$, અને $\theta ={900}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 41: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખના કટકો

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={720}^{\circ }$
$\cos ({720}^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={810}^{\circ }$
$\cos ({810}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={900}^{\circ }$
$\cos ({900}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={720}^{\circ }$, $\theta ={810}^{\circ }$, અને $\theta ={900}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 42: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખના નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={720}^{\circ }$
$\tan ({720}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={810}^{\circ }$
$\tan ({810}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={900}^{\circ }$
$\tan ({900}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={720}^{\circ }$, $\theta ={810}^{\circ }$, અને $\theta ={900}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 43: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખના નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={720}^{\circ }$
$\sec ({720}^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={810}^{\circ }$
$\sec ({810}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={900}^{\circ }$
$\sec ({900}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={720}^{\circ }$, $\theta ={810}^{\circ }$, અને $\theta ={900}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 44: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={720}^{\circ }$
$\csc ({720}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={810}^{\circ }$
$\csc ({810}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={900}^{\circ }$
$\csc ({900}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={720}^{\circ }$, $\theta ={810}^{\circ }$, અને $\theta ={900}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 45: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={720}^{\circ }$
$\cot ({720}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={810}^{\circ }$
$\cot ({810}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={900}^{\circ }$
$\cot ({900}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={720}^{\circ }$, $\theta ={810}^{\circ }$, અને $\theta ={900}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 46: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={990}^{\circ }$
$\sin ({990}^{\circ })=-1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1080}^{\circ }$
$\sin ({1080}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1170}^{\circ }$
$\sin ({1170}^{\circ })=1$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={990}^{\circ }$, $\theta ={1080}^{\circ }$, અને $\theta ={1170}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 47: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખના કટકો

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={990}^{\circ }$
$\cos ({990}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1080}^{\circ }$
$\cos ({1080}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1170}^{\circ }$
$\cos ({1170}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={990}^{\circ }$, $\theta ={1080}^{\circ }$, અને $\theta ={1170}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 48: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={990}^{\circ }$
$\tan ({990}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1080}^{\circ }$
$\tan ({1080}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1170}^{\circ }$
$\tan ({1170}^{\circ })=-1.732$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={990}^{\circ }$, $\theta ={1080}^{\circ }$, અને $\theta ={1170}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 49: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={990}^{\circ }$
$\sec ({990}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1080}^{\circ }$
$\sec ({1080}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1170}^{\circ }$
$\sec ({1170}^{\circ })=2$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={990}^{\circ }$, $\theta ={1080}^{\circ }$, અને $\theta ={1170}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 50: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું વિશ્લેષણ

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={990}^{\circ }$
$\csc ({990}^{\circ })=-1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1080}^{\circ }$
$\csc ({1080}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1170}^{\circ }$
$\csc ({1170}^{\circ })=1$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={990}^{\circ }$, $\theta ={1080}^{\circ }$, અને $\theta ={1170}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 51: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={990}^{\circ }$
$\cot ({990}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1080}^{\circ }$
$\cot ({1080}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1170}^{\circ }$
$\cot ({1170}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={990}^{\circ }$, $\theta ={1080}^{\circ }$, અને $\theta ={1170}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 52: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1230}^{\circ }$
$\sin ({1230}^{\circ })=0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1260}^{\circ }$
$\sin ({1260}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1290}^{\circ }$
$\sin ({1290}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1230}^{\circ }$, $\theta ={1260}^{\circ }$, અને $\theta ={1290}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 53: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1230}^{\circ }$
$\cos ({1230}^{\circ })=0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1260}^{\circ }$
$\cos ({1260}^{\circ })=0.5$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1290}^{\circ }$
$\cos ({1290}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1230}^{\circ }$, $\theta ={1260}^{\circ }$, અને $\theta ={1290}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 54: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1230}^{\circ }$
$\tan ({1230}^{\circ })=0.577$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1260}^{\circ }$
$\tan ({1260}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1290}^{\circ }$
$\tan ({1290}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1230}^{\circ }$, $\theta ={1260}^{\circ }$, અને $\theta ={1290}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 55: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1230}^{\circ }$
$\sec ({1230}^{\circ })=1.154$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1260}^{\circ }$
$\sec ({1260}^{\circ })=2$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1290}^{\circ }$
$\sec ({1290}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1230}^{\circ }$, $\theta ={1260}^{\circ }$, અને $\theta ={1290}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 56: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1230}^{\circ }$
$\csc ({1230}^{\circ })=2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1260}^{\circ }$
$\csc ({1260}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1290}^{\circ }$
$\csc ({1290}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1230}^{\circ }$, $\theta ={1260}^{\circ }$, અને $\theta ={1290}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 57: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1230}^{\circ }$
$\cot ({1230}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1260}^{\circ }$
$\cot ({1260}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1290}^{\circ }$
$\cot ({1290}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1230}^{\circ }$, $\theta ={1260}^{\circ }$, અને $\theta ={1290}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 58 થી 100માં આ જ રીતે નંગા પુરાવા અને કટકો રજૂ કરવામાં આવશે, જેમાં દરેક ત્રિકોણમિતીય કાર્યોના આલેખની સ્પષ્ટ સમજણ આપવામાં આવશે.

4o

You said:

continue

ChatGPT said:

ChatGPT

ઉદાહરણ 58: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1350}^{\circ }$
$\sin ({1350}^{\circ })=-0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1380}^{\circ }$
$\sin ({1380}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1410}^{\circ }$
$\sin ({1410}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1350}^{\circ }$, $\theta ={1380}^{\circ }$, અને $\theta ={1410}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 59: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1350}^{\circ }$
$\cos ({1350}^{\circ })=-0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1380}^{\circ }$
$\cos ({1380}^{\circ })=-0.5$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1410}^{\circ }$
$\cos ({1410}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1350}^{\circ }$, $\theta ={1380}^{\circ }$, અને $\theta ={1410}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 60: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1350}^{\circ }$
$\tan ({1350}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1380}^{\circ }$
$\tan ({1380}^{\circ })=-0.577$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1410}^{\circ }$
$\tan ({1410}^{\circ })=-1.732$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1350}^{\circ }$, $\theta ={1380}^{\circ }$, અને $\theta ={1410}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 61: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1350}^{\circ }$
$\sec ({1350}^{\circ })=-2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1380}^{\circ }$
$\sec ({1380}^{\circ })=-1.154$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1410}^{\circ }$
$\sec ({1410}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1350}^{\circ }$, $\theta ={1380}^{\circ }$, અને $\theta ={1410}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 62: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1350}^{\circ }$
$\csc ({1350}^{\circ })=-2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1380}^{\circ }$
$\csc ({1380}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1410}^{\circ }$
$\csc ({1410}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1350}^{\circ }$, $\theta ={1380}^{\circ }$, અને $\theta ={1410}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 63: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1350}^{\circ }$
$\cot ({1350}^{\circ })=-0.577$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1380}^{\circ }$
$\cot ({1380}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1410}^{\circ }$
$\cot ({1410}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1350}^{\circ }$, $\theta ={1380}^{\circ }$, અને $\theta ={1410}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 64: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1500}^{\circ }$
$\sin ({1500}^{\circ })=0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1530}^{\circ }$
$\sin ({1530}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1560}^{\circ }$
$\sin ({1560}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1500}^{\circ }$, $\theta ={1530}^{\circ }$, અને $\theta ={1560}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 65: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1500}^{\circ }$
$\cos ({1500}^{\circ })=0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1530}^{\circ }$
$\cos ({1530}^{\circ })=0.5$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1560}^{\circ }$
$\cos ({1560}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1500}^{\circ }$, $\theta ={1530}^{\circ }$, અને $\theta ={1560}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 66: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1500}^{\circ }$
$\tan ({1500}^{\circ })=0.577$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1530}^{\circ }$
$\tan ({1530}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1560}^{\circ }$
$\tan ({1560}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1500}^{\circ }$, $\theta ={1530}^{\circ }$, અને $\theta ={1560}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 67: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1500}^{\circ }$
$\sec ({1500}^{\circ })=1.154$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1530}^{\circ }$
$\sec ({1530}^{\circ })=2$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1560}^{\circ }$
$\sec ({1560}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1500}^{\circ }$, $\theta ={1530}^{\circ }$, અને $\theta ={1560}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 68: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1500}^{\circ }$
$\csc ({1500}^{\circ })=2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1530}^{\circ }$
$\csc ({1530}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1560}^{\circ }$
$\csc ({1560}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1500}^{\circ }$, $\theta ={1530}^{\circ }$, અને $\theta ={1560}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 69: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1500}^{\circ }$
$\cot ({1500}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1530}^{\circ }$
$\cot ({1530}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1560}^{\circ }$
$\cot ({1560}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1500}^{\circ }$, $\theta ={1530}^{\circ }$, અને $\theta ={1560}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 70: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1620}^{\circ }$
$\sin ({1620}^{\circ })=-0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1650}^{\circ }$
$\sin ({1650}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1680}^{\circ }$
$\sin ({1680}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1620}^{\circ }$, $\theta ={1650}^{\circ }$, અને $\theta ={1680}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 71: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1620}^{\circ }$
$\cos ({1620}^{\circ })=-0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1650}^{\circ }$
$\cos ({1650}^{\circ })=-0.5$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1680}^{\circ }$
$\cos ({1680}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1620}^{\circ }$, $\theta ={1650}^{\circ }$, અને $\theta ={1680}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 72: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1620}^{\circ }$
$\tan ({1620}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1650}^{\circ }$
$\tan ({1650}^{\circ })=-0.577$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1680}^{\circ }$
$\tan ({1680}^{\circ })=-1.732$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1620}^{\circ }$, $\theta ={1650}^{\circ }$, અને $\theta ={1680}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 73: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1620}^{\circ }$
$\sec ({1620}^{\circ })=-2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1650}^{\circ }$
$\sec ({1650}^{\circ })=-1.154$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1680}^{\circ }$
$\sec ({1680}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1620}^{\circ }$, $\theta ={1650}^{\circ }$, અને $\theta ={1680}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 74: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1620}^{\circ }$
$\csc ({1620}^{\circ })=-2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1650}^{\circ }$
$\csc ({1650}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1680}^{\circ }$
$\csc ({1680}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1620}^{\circ }$, $\theta ={1650}^{\circ }$, અને $\theta ={1680}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 75: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1620}^{\circ }$
$\cot ({1620}^{\circ })=-0.577$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1650}^{\circ }$
$\cot ({1650}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1680}^{\circ }$
$\cot ({1680}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1620}^{\circ }$, $\theta ={1650}^{\circ }$, અને $\theta ={1680}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 76: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1770}^{\circ }$
$\sin ({1770}^{\circ })=0.5$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1800}^{\circ }$
$\sin ({1800}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1830}^{\circ }$
$\sin ({1830}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1770}^{\circ }$, $\theta ={1800}^{\circ }$, અને $\theta ={1830}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 77: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1770}^{\circ }$
$\cos ({1770}^{\circ })=0.866$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1800}^{\circ }$
$\cos ({1800}^{\circ })=0.5$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1830}^{\circ }$
$\cos ({1830}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1770}^{\circ }$, $\theta ={1800}^{\circ }$, અને $\theta ={1830}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 78: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1770}^{\circ }$
$\tan ({1770}^{\circ })=0.577$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1800}^{\circ }$
$\tan ({1800}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1830}^{\circ }$
$\tan ({1830}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1770}^{\circ }$, $\theta ={1800}^{\circ }$, અને $\theta ={1830}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 79: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1770}^{\circ }$
$\sec ({1770}^{\circ })=1.154$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1800}^{\circ }$
$\sec ({1800}^{\circ })=2$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1830}^{\circ }$
$\sec ({1830}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1770}^{\circ }$, $\theta ={1800}^{\circ }$, અને $\theta ={1830}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 80: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1770}^{\circ }$
$\csc ({1770}^{\circ })=2$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1800}^{\circ }$
$\csc ({1800}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1830}^{\circ }$
$\csc ({1830}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1770}^{\circ }$, $\theta ={1800}^{\circ }$, અને $\theta ={1830}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 81: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1770}^{\circ }$
$\cot ({1770}^{\circ })=1.732$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1800}^{\circ }$
$\cot ({1800}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1830}^{\circ }$
$\cot ({1830}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1770}^{\circ }$, $\theta ={1800}^{\circ }$, અને $\theta ={1830}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 82: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1920}^{\circ }$
$\sin ({1920}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1950}^{\circ }$
$\sin ({1950}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={1980}^{\circ }$
$\sin ({1980}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1920}^{\circ }$, $\theta ={1950}^{\circ }$, અને $\theta ={1980}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 83: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1920}^{\circ }$
$\cos ({1920}^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1950}^{\circ }$
$\cos ({1950}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={1980}^{\circ }$
$\cos ({1980}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1920}^{\circ }$, $\theta ={1950}^{\circ }$, અને $\theta ={1980}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 84: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1920}^{\circ }$
$\tan ({1920}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1950}^{\circ }$
$\tan ({1950}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1980}^{\circ }$
$\tan ({1980}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1920}^{\circ }$, $\theta ={1950}^{\circ }$, અને $\theta ={1980}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 85: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1920}^{\circ }$
$\sec ({1920}^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1950}^{\circ }$
$\sec ({1950}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={1980}^{\circ }$
$\sec ({1980}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1920}^{\circ }$, $\theta ={1950}^{\circ }$, અને $\theta ={1980}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 86: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1920}^{\circ }$
$\csc ({1920}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1950}^{\circ }$
$\csc ({1950}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={1980}^{\circ }$
$\csc ({1980}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1920}^{\circ }$, $\theta ={1950}^{\circ }$, અને $\theta ={1980}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 87: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1920}^{\circ }$
$\cot ({1920}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1950}^{\circ }$
$\cot ({1950}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={1980}^{\circ }$
$\cot ({1980}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={1920}^{\circ }$, $\theta ={1950}^{\circ }$, અને $\theta ={1980}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 88: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={2040}^{\circ }$
$\sin ({2040}^{\circ })=-1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={2070}^{\circ }$
$\sin ({2070}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={2100}^{\circ }$
$\sin ({2100}^{\circ })=1$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2040}^{\circ }$, $\theta ={2070}^{\circ }$, અને $\theta ={2100}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 89: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={2040}^{\circ }$
$\cos ({2040}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={2070}^{\circ }$
$\cos ({2070}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={2100}^{\circ }$
$\cos ({2100}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2040}^{\circ }$, $\theta ={2070}^{\circ }$, અને $\theta ={2100}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 90: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2040}^{\circ }$
$\tan ({2040}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2070}^{\circ }$
$\tan ({2070}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2100}^{\circ }$
$\tan ({2100}^{\circ })=1.732$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2040}^{\circ }$, $\theta ={2070}^{\circ }$, અને $\theta ={2100}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 91: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={2040}^{\circ }$
$\sec ({2040}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={2070}^{\circ }$
$\sec ({2070}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={2100}^{\circ }$
$\sec ({2100}^{\circ })=2$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2040}^{\circ }$, $\theta ={2070}^{\circ }$, અને $\theta ={2100}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 92: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={2040}^{\circ }$
$\csc ({2040}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={2070}^{\circ }$
$\csc ({2070}^{\circ })=-1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={2100}^{\circ }$
$\csc ({2100}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2040}^{\circ }$, $\theta ={2070}^{\circ }$, અને $\theta ={2100}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 93: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2040}^{\circ }$
$\cot ({2040}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2070}^{\circ }$
$\cot ({2070}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2100}^{\circ }$
$\cot ({2100}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2040}^{\circ }$, $\theta ={2070}^{\circ }$, અને $\theta ={2100}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 94: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={2160}^{\circ }$
$\sin ({2160}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={2190}^{\circ }$
$\sin ({2190}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={2220}^{\circ }$
$\sin ({2220}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2160}^{\circ }$, $\theta ={2190}^{\circ }$, અને $\theta ={2220}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 95: કોશાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={2160}^{\circ }$
$\cos ({2160}^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={2190}^{\circ }$
$\cos ({2190}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોશાઇનθ માટે, $\theta ={2220}^{\circ }$
$\cos ({2220}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
કોશાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2160}^{\circ }$, $\theta ={2190}^{\circ }$, અને $\theta ={2220}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 96: ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2160}^{\circ }$
$\tan ({2160}^{\circ })=0$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2190}^{\circ }$
$\tan ({2190}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત ટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2220}^{\circ }$
$\tan ({2220}^{\circ })=0$

ઉકેલ:
ટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2160}^{\circ }$, $\theta ={2190}^{\circ }$, અને $\theta ={2220}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 97: સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={2160}^{\circ }$
$\sec ({2160}^{\circ })=1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={2190}^{\circ }$
$\sec ({2190}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સેકન્ટθ માટે, $\theta ={2220}^{\circ }$
$\sec ({2220}^{\circ })=-1$

ઉકેલ:
સેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2160}^{\circ }$, $\theta ={2190}^{\circ }$, અને $\theta ={2220}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 98: કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={2160}^{\circ }$
$\csc ({2160}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={2190}^{\circ }$
$\csc ({2190}^{\circ })=1$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોસેકન્ટθ માટે, $\theta ={2220}^{\circ }$
$\csc ({2220}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોસેકન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2160}^{\circ }$, $\theta ={2190}^{\circ }$, અને $\theta ={2220}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 99: કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2160}^{\circ }$
$\cot ({2160}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2190}^{\circ }$
$\cot ({2190}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત કોટેન્જન્ટθ માટે, $\theta ={2220}^{\circ }$
$\cot ({2220}^{\circ })=\mathrm{\infty }$

ઉકેલ:
કોટેન્જન્ટ ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2160}^{\circ }$, $\theta ={2190}^{\circ }$, અને $\theta ={2220}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.

---

ઉદાહરણ 100: સાઇન ફંક્શનના આલેખનું નંગા પુરાવા

પગથિયું 1:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={2280}^{\circ }$
$\sin ({2280}^{\circ })=-1$

પગથિયું 2:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={2310}^{\circ }$
$\sin ({2310}^{\circ })=0$

પગથિયું 3:
અપેક્ષિત સિનθ માટે, $\theta ={2340}^{\circ }$
$\sin ({2340}^{\circ })=1$

ઉકેલ:
સાઇન ફંક્શનના આલેખમાં $\theta ={2280}^{\circ }$, $\theta ={2310}^{\circ }$, અને $\theta ={2340}^{\circ }$ પર આ પોઈન્ટ્સ ધરાવે છે.