ઘાતાંકો અને મૂળાકારો ગણિતના મુખ્ય મૂળભૂત તત્વો છે. ઘાતાંકનો અર્થ છે કોઈ સંખ્યાને પોતે સાથે ગણી ગણીને ગુણવું, જ્યારે મૂળાકાર એ તેના વિરુદ્ધ પ્રક્રિયા છે, જેમાં આપણે એક નંબરનું મૂળ શોધીશું. આ બંને તત્વો વિવિધ ગણિતીય વિષયો અને ગાણિતિક તર્ક માટે બહુ જ મહત્વપૂર્ણ છે.
આ લેખમાં અમે ઘાતાંક અને મૂળાકાર વિશેની સંપૂર્ણ સમજણ આપીશું, અને 100 ઉદાહરણોની મદદથી વિસ્તૃત સમજૂતી આપીશું. દરેક ઉદાહરણમાં ઘાતાંક અને મૂળાકારની ગણતરીઓ સમજાવવાના તમામ પગલાઓ દર્શાવાશે.
1. ઘાતાંકો (Powers)
ઘાતાંકો એ કોઈ સંખ્યાને ગણીને ગુણવાનો એક રીત છે. તે પ્રમાણે ઘાતાંક (Exponent) એ સંકેત આપે છે કે આ સંખ્યા કેટલા વખત ગુણવામાં આવી છે.
સામાન્ય રીતે, ઘાતાંકનું સ્વરૂપ છે:
$ a^n $
અહીં:
- $ a $ એ આધાર (base) છે.
- $ n $ એ ઘાતાંક (Exponent) છે, જે દર્શાવે છે કે $ a $ કેટલા વખત ગુણવામાં આવ્યું છે.
ઉદાહરણ:
- $ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $
- $ 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 $
ઘાતાંકના નિયમો (Laws of Exponents):
- Product of Powers: $ a^m \times a^n = a^{m+n} $
- Quotient of Powers: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, , \text{if} , a \neq 0 $
- Power of a Power: $ (a^m)^n = a^{m \times n} $
- Power of a Product: $ (ab)^n = a^n \times b^n $
- Power of a Quotient: $ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $
- Zero Exponent Rule: $ a^0 = 1, , \text{if} , a \neq 0 $
- Negative Exponent Rule: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, , \text{if} , a \neq 0 $
2. મૂળાકારો (Roots)
મૂળાકાર એ ઘાતાંકનો વિપરીત અર્થ છે. ઘાતાંકના કારણે ઉદ્ભવેલા ઉત્પાદનને પાછું મૂળાંક કાઢીને મૂળ સંખ્યામાં પરિવર્તિત કરવું એ મૂળાકાર છે.
મૂળાકારની સામાન્ય ફોર્મ છે:
$ \sqrt[n]{a} $
અહીં:
- $ a $ એ મૂલ્ય છે જેના માટે મૂળાકાર કાઢવો છે (radicand).
- $ n $ એ મૂળાકારની ડિગ્રી છે. જો ડિગ્રી ન હોય તો ડિફોલ્ટ 2 (ચોરસ મૂળ) માની લેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ:
- $ \sqrt{9} = 3 $, કારણ કે $ 3^2 = 9 $
- $ \sqrt[3]{8} = 2 $, કારણ કે $ 2^3 = 8 $
મૂલાકારના નિયમો (Laws of Radicals):
- Product of Radicals: $ \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b} $
- Quotient of Radicals: $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $
- Power of a Radical: $ \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = a^{\frac{m}{n}} $
100 ઉદાહરણો ઘાતાંકો અને મૂળાકારો પર
હવે અમે ઘાતાંક અને મૂળાકાર સાથે સંબંધિત 100 ઉદાહરણો પ્રસ્તુત કરીશું. દરેક ઉદાહરણમાં યોગ્ય ગણતરીઓ સાથે હલ કરવાની પ્રક્રિયા દર્શાવેલી છે.
ઘાતાંકના ઉદાહરણો (Examples of Powers):
Example 1: $ 3^2 \times 3^3 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 3^2 \times 3^3 = 3^{2+3} $
$ = 3^5 $
$ = 243 $
Example 2: $ 5^4 \div 5^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} $
$ = 5^2 $
$ = 25 $
Example 3: $ (2^3)^4 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} $
$ = 2^{12} $
$ = 4096 $
Example 4: $ (6 \times 5)^3 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ (6 \times 5)^3 = 6^3 \times 5^3 $
$ = 216 \times 125 $
$ = 27000 $
Example 5: $ \frac{8^3}{4^3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{8^3}{4^3} = \left( \frac{8}{4} \right)^3 $
$ = 2^3 $
$ = 8 $
મૂળાકારના ઉદાહરણો (Examples of Roots):
Example 6: $ \sqrt{16} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{16} = 4 $
Example 7: $ \sqrt[3]{27} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[3]{27} = 3 $
Example 8: $ \sqrt[4]{81} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[4]{81} = 3 $
Example 9: $ \sqrt{\frac{25}{16}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} $
$ = \frac{5}{4} $
Example 10: $ \sqrt{50} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} $
$ = \sqrt{25} \times \sqrt{2} $
$ = 5 \times \sqrt{2} $
ઘાતાંક અને મૂળાકારની સંયુક્ત ઉદાહરણો (Combination of Powers and Roots):
Example 11: $ \sqrt{4^6} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{4^6} = 4^3 $
$ = 64 $
Example 12: $ (9^2)^{\frac{1}{2}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ (9^2)^{\frac{1}{2}} = 9 $
Example 13: $ \left( 81^{\frac{1}{4}} \right)^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( 81^{\frac{1}{4}} \right)^2 = 81^{\frac{2}{4}} $
$ = 81^{\frac{1}{2}} $
$ = \sqrt{81} $
$ = 9 $
Example 14: $ \left( 16^{\frac{1}{2}} \right)^3 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( 16^{\frac{1}{2}} \right)^3 = \left( \sqrt{16} \right)^3 $
$ = 4^3 $
$ = 64 $
Example 15: $ \sqrt[3]{(8^4)} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[3]{(8^4)} = 8^{\frac{4}{3}} $
Example 16: $ \sqrt{9^3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{9^3} = \sqrt{729} $
$ = 27 $
Example 17: $ \left( 16 \right)^{\frac{3}{4}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( 16 \right)^{\frac{3}{4}} = \left( \sqrt[4]{16} \right)^3 $
$ = 2^3 $
$ = 8 $
Example 18: $ \left( 64^{\frac{1}{3}} \right)^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( 64^{\frac{1}{3}} \right)^2 = 4^2 $
$ = 16 $
Example 19: $ 2^5 \times 2^{-2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 2^5 \times 2^{-2} = 2^{5+(-2)} $
$ = 2^3 $
$ = 8 $
Example 20: $ 10^{-3} \times 10^4 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 10^{-3} \times 10^4 = 10^{4+(-3)} $
$ = 10^1 $
$ = 10 $
Example 21: $ \frac{5^4}{5^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} $
$ = 5^2 $
$ = 25 $
Example 22: $ \sqrt[3]{8^6} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[3]{8^6} = 8^{\frac{6}{3}} $
$ = 8^2 $
$ = 64 $
Example 23: $ (9^2 \times 3^4)^{\frac{1}{2}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ (9^2 \times 3^4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81 \times 81} $
$ = \sqrt{6561} $
$ = 81 $
Example 24: $ 4^{\frac{1}{2}} \times 8^{\frac{1}{3}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 4^{\frac{1}{2}} = 2 $
$ 8^{\frac{1}{3}} = 2 $
$ 2 \times 2 = 4 $
Example 25: $ \sqrt[5]{32} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[5]{32} = 2 $
અગત્યના ઉદાહરણો (Additional Examples of Powers and Roots)
Example 26: $ \sqrt[3]{125^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[3]{125^2} = \left( 5^3 \right)^{\frac{2}{3}} $
$ = 5^2 $
$ = 25 $
Example 27: $ \left( 49^{\frac{1}{2}} \right)^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( 49^{\frac{1}{2}} \right)^2 = 49^1 $
$ = 49 $
Example 28: $ 2^3 \times 2^{-2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 2^3 \times 2^{-2} = 2^{3+(-2)} $
$ = 2^1 $
$ = 2 $
Example 29: $ \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{1}{3}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} $
$ = \frac{3}{2} $
Example 30: $ 3^{-3} \times 3^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 3^{-3} \times 3^2 = 3^{-3+2} $
$ = 3^{-1} $
$ = \frac{1}{3} $
Example 31: $ \sqrt{100} \times 10^{-2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{100} = 10 $
$ 10 \times 10^{-2} = 10 \times \frac{1}{10^2} $
$ = \frac{10}{100} $
$ = 0.1 $
Example 32: $ \frac{8^2}{4} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} $
$ = 16 $
Example 33: $ \sqrt[4]{16^3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[4]{16^3} = (2^4)^{\frac{3}{4}} $
$ = 2^3 $
$ = 8 $
Example 34: $ \sqrt[5]{32^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[5]{32^2} = (2^5)^{\frac{2}{5}} $
$ = 2^2 $
$ = 4 $
Example 35: $ 9^2 \div 3^4 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 9^2 \div 3^4 = \frac{(3^2)^2}{3^4} $
$ = \frac{3^4}{3^4} $
$ = 1 $
Example 36: $ 5^{-2} \times 25 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 5^{-2} \times 25 = \frac{1}{5^2} \times 5^2 $
$ = 1 $
Example 37: $ \frac{4^5}{8^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{4^5}{8^2} = \frac{(2^2)^5}{(2^3)^2} $
$ = \frac{2^{10}}{2^6} $
$ = 2^{10-6} $
$ = 2^4 $
$ = 16 $
Example 38: $ \sqrt[6]{64} \times \sqrt[3]{8} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[6]{64} = 2 $
$ \sqrt[3]{8} = 2 $
$ 2 \times 2 = 4 $
Example 39: $ \sqrt{\frac{49}{25}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} $
$ = \frac{7}{5} $
Example 40: $ (27^{\frac{1}{3}}) \times (81^{\frac{1}{4}}) $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ (27^{\frac{1}{3}}) = 3 $
$ (81^{\frac{1}{4}}) = 3 $
$ 3 \times 3 = 9 $
Example 41: $ \frac{3^5}{9^3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{3^5}{9^3} = \frac{3^5}{(3^2)^3} $
$ = \frac{3^5}{3^6} $
$ = 3^{-1} $
$ = \frac{1}{3} $
Example 42: $ (16^{\frac{1}{4}}) \times 2^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 16^{\frac{1}{4}} = 2 $
$ 2 \times 2^2 = 2 \times 4 $
$ = 8 $
Example 43: $ \frac{27^{\frac{1}{3}}}{9^{\frac{1}{2}}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{27^{\frac{1}{3}}}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{3} $
$ = 1 $
Example 44: $ \frac{64^{\frac{1}{2}}}{4^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{64^{\frac{1}{2}}}{4^2} = \frac{8}{16} $
$ = \frac{1}{2} $
Example 45: $ \sqrt{36} \times 6^{-1} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{36} = 6 $
$ 6 \times 6^{-1} = 6 \times \frac{1}{6} $
$ = 1 $
Example 46: $ \frac{5^6}{25^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{5^6}{25^2} = \frac{5^6}{(5^2)^2} $
$ = \frac{5^6}{5^4} $
$ = 5^{6-4} $
$ = 5^2 $
$ = 25 $
Example 47: $ (7^3)^{\frac{1}{3}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ (7^3)^{\frac{1}{3}} = 7^1 $
$ = 7 $
Example 48: $ \sqrt[4]{16^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[4]{16^2} = (2^4)^{\frac{2}{4}} $
$ = 2^2 $
$ = 4 $
Example 49: $ \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{1}{3}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} $
$ = \frac{3}{2} $
Example 50: $ \sqrt[5]{32} \times 4^{-1} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[5]{32} = 2 $
$ 2 \times 4^{-1} = 2 \times \frac{1}{4} $
$ = \frac{2}{4} $
$ = \frac{1}{2} $
Example 51: $ \sqrt[4]{81} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[4]{81} = 3 $
Example 52: $ \sqrt[3]{27} \times 3^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[3]{27} = 3 $
$ 3 \times 3^2 = 3 \times 9 $
$ = 27 $
Example 53: $ \frac{9^4}{3^6} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{9^4}{3^6} = \frac{(3^2)^4}{3^6} $
$ = \frac{3^8}{3^6} $
$ = 3^{8-6} $
$ = 3^2 $
$ = 9 $
Example 54: $ 16^{\frac{1}{4}} \times 4^{-1} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 16^{\frac{1}{4}} = 2 $
$ 2 \times 4^{-1} = 2 \times \frac{1}{4} $
$ = \frac{2}{4} $
$ = \frac{1}{2} $
Example 55: $ 2^{-3} \times 2^6 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 2^{-3} \times 2^6 = 2^{(-3+6)} $
$ = 2^3 $
$ = 8 $
Example 56: $ 8^4 \div 4^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{8^4}{4^2} = \frac{(2^3)^4}{(2^2)^2} $
$ = \frac{2^{12}}{2^4} $
$ = 2^{12-4} $
$ = 2^8 $
$ = 256 $
Example 57: $ \sqrt[3]{64^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[3]{64^2} = (2^6)^{\frac{2}{3}} $
$ = 2^4 $
$ = 16 $
Example 58: $ \frac{5^6}{25^3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{5^6}{25^3} = \frac{5^6}{(5^2)^3} $
$ = \frac{5^6}{5^6} $
$ = 1 $
Example 59: $ \sqrt[4]{16^3} \times 2^{-3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[4]{16^3} = 8 $
$ 8 \times 2^{-3} = 8 \times \frac{1}{8} $
$ = 1 $
Example 60: $ 2^{-2} \times 2^5 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 2^{-2} \times 2^5 = 2^{(-2+5)} $
$ = 2^3 $
$ = 8 $
Example 61: $ \sqrt[5]{32^3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[5]{32^3} = (2^5)^{\frac{3}{5}} $
$ = 2^3 $
$ = 8 $
Example 62: $ \frac{8^3}{4^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{8^3}{4^2} = \frac{(2^3)^3}{(2^2)^2} $
$ = \frac{2^9}{2^4} $
$ = 2^{9-4} $
$ = 2^5 $
$ = 32 $
Example 63: $ \sqrt[3]{64} \times 2^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[3]{64} = 4 $
$ 4 \times 2^2 = 4 \times 4 $
$ = 16 $
Example 64: $ 9^2 \div 3^4 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{9^2}{3^4} = \frac{(3^2)^2}{3^4} $
$ = \frac{3^4}{3^4} $
$ = 1 $
Example 65: $ 7^{-2} \times 49 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 7^{-2} \times 49 = \frac{1}{7^2} \times 7^2 $
$ = 1 $
Example 66: $ \left( 4^{\frac{1}{2}} \right)^3 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( 4^{\frac{1}{2}} \right)^3 = 2^3 $
$ = 8 $
Example 67: $ \frac{5^3}{25^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{5^3}{25^2} = \frac{5^3}{(5^2)^2} $
$ = \frac{5^3}{5^4} $
$ = 5^{-1} $
$ = \frac{1}{5} $
Example 68: $ 4^3 \div 16^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{4^3}{16^2} = \frac{(2^2)^3}{(2^4)^2} $
$ = \frac{2^6}{2^8} $
$ = 2^{-2} $
$ = \frac{1}{2^2} $
$ = \frac{1}{4} $
Example 69: $ 27^{\frac{1}{3}} \times 81^{\frac{1}{4}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 27^{\frac{1}{3}} = 3 $
$ 81^{\frac{1}{4}} = 3 $
$ 3 \times 3 = 9 $
Example 70: $ \left( 16^{\frac{1}{4}} \right)^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( 16^{\frac{1}{4}} \right)^2 = 2^2 $
$ = 4 $
Example 71: $ \frac{9^3}{3^4} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{9^3}{3^4} = \frac{(3^2)^3}{3^4} $
$ = \frac{3^6}{3^4} $
$ = 3^2 $
$ = 9 $
Example 72: $ \frac{64^{\frac{1}{3}}}{4} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 64^{\frac{1}{3}} = 4 $
$ \frac{4}{4} = 1 $
Example 73: $ \sqrt[5]{32} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[5]{32} = 2 $
Example 74: $ \sqrt{81} \div \sqrt{9} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} $
$ = 3 $
Example 75: $ \frac{5^5}{25^3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{5^5}{25^3} = \frac{5^5}{(5^2)^3} $
$ = \frac{5^5}{5^6} $
$ = 5^{-1} $
$ = \frac{1}{5} $
Example 76: $ \sqrt[4]{81} \times 9^{-1} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[4]{81} = 3 $
$ 3 \times 9^{-1} = 3 \times \frac{1}{9} $
$ = \frac{3}{9} $
$ = \frac{1}{3} $
Example 77: $ \sqrt{\frac{25}{16}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} $
$ = \frac{5}{4} $
Example 78: $ \frac{5^4}{5^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} $
$ = 5^2 $
$ = 25 $
Example 79: $ \sqrt[3]{64} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[3]{64} = 4 $
Example 80: $ 2^{-4} \times 16^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 2^{-4} \times 16^2 = 2^{-4} \times (2^4)^2 $
$ = 2^{-4} \times 2^8 $
$ = 2^{8-4} $
$ = 2^4 $
$ = 16 $
Example 81: $ 2^5 \div 8^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{2^5}{8^2} = \frac{2^5}{(2^3)^2} $
$ = \frac{2^5}{2^6} $
$ = 2^{-1} $
$ = \frac{1}{2} $
Example 82: $ \sqrt{121} \times \sqrt[3]{27} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{121} = 11 $
$ \sqrt[3]{27} = 3 $
$ 11 \times 3 = 33 $
Example 83: $ 3^{-2} \times 9^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 3^{-2} \times 9^2 = 3^{-2} \times (3^2)^2 $
$ = 3^{-2} \times 3^4 $
$ = 3^{4-2} $
$ = 3^2 $
$ = 9 $
Example 84: $ \frac{4^3}{16} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{4^3}{16} = \frac{(2^2)^3}{2^4} $
$ = \frac{2^6}{2^4} $
$ = 2^{6-4} $
$ = 2^2 $
$ = 4 $
Example 85: $ 9^3 \div 3^2 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{9^3}{3^2} = \frac{(3^2)^3}{3^2} $
$ = \frac{3^6}{3^2} $
$ = 3^{6-2} $
$ = 3^4 $
$ = 81 $
Example 86: $ \frac{7^5}{7^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} $
$ = 7^3 $
$ = 343 $
Example 87: $ 2^5 \times 4^{-2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 2^5 \times 4^{-2} = 2^5 \times (2^2)^{-2} $
$ = 2^5 \times 2^{-4} $
$ = 2^{5-4} $
$ = 2^1 $
$ = 2 $
Example 88: $ \frac{8^2}{4^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{8^2}{4^2} = \frac{(2^3)^2}{(2^2)^2} $
$ = \frac{2^6}{2^4} $
$ = 2^{6-4} $
$ = 2^2 $
$ = 4 $
Example 89: $ 9^2 \times 3^{-2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 9^2 \times 3^{-2} = (3^2)^2 \times 3^{-2} $
$ = 3^4 \times 3^{-2} $
$ = 3^{4-2} $
$ = 3^2 $
$ = 9 $
Example 90: $ \sqrt[3]{125^2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[3]{125^2} = \left( 5^3 \right)^{\frac{2}{3}} $
$ = 5^2 $
$ = 25 $
Example 91: $ \frac{4^5}{2^8} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{4^5}{2^8} = \frac{(2^2)^5}{2^8} $
$ = \frac{2^{10}}{2^8} $
$ = 2^{10-8} $
$ = 2^2 $
$ = 4 $
Example 92: $ (25^{\frac{1}{2}})^4 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ (25^{\frac{1}{2}})^4 = 5^4 $
$ = 625 $
Example 93: $ \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{2}{3}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \left( \frac{27}{8} \right)^{frac{2}{3}} = \frac{27^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} $
$ = \frac{9}{4} $
Example 94: $ \sqrt{\frac{49}{64}} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} $
$ = \frac{7}{8} $
Example 95: $ (36^{\frac{1}{2}})^3 $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ (36^{\frac{1}{2}})^3 = 6^3 $
$ = 216 $
Example 96: $ \sqrt{49} \times 7^{-1} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt{49} = 7 $
$ 7 \times 7^{-1} = 7 \times \frac{1}{7} $
$ = 1 $
Example 97: $ \sqrt[4]{16^3} \times 4^{-3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[4]{16^3} = 8 $
$ 8 \times 4^{-3} = 8 \times \frac{1}{64} $
$ = \frac{8}{64} $
$ = \frac{1}{8} $
Example 98: $ \frac{81^2}{9^3} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \frac{81^2}{9^3} = \frac{(3^4)}{3^6} $
$ = 3^{4-6} $
$ = 3^{-2} $
$ = \frac{1}{3^2} $
$ = \frac{1}{9} $
Example 99: $ \sqrt[5]{32} \div 4^{-1} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ \sqrt[5]{32} = 2 $
$ \frac{2}{4^{-1}} = 2 \times 4 $
$ = 8 $
Example 100: $ 9^{\frac{1}{2}} \times 3^{-2} $ ને સરળ બનાવો.
Solution:
$ 9^{\frac{1}{2}} = 3 $
$ 3 \times 3^{-2} = 3 \times \frac{1}{9} $
$ = \frac{3}{9} $
$ = \frac{1}{3} $
