ગ્રાફિંગ કાર્ય (રેખીય, દ્વિઘાતી, વિસ્ફોટક)

પરિચય

ગણિતમાં, ગ્રાફિક રુપે કોઇપણ કાર્ય (ફંક્શન) ની રજૂઆત એ આપેલી સંભાવનાઓની દ્રષ્ટિથી તે સમીકારણો અને કાર્યોનું દ્રશ્યરૂપ છે. રેખીય, દ્વિઘાતી અને વિસ્ફોટક કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવાનો ઉદ્દેશ્ય એ કાર્યના મૂલ્યો કેવી રીતે પરિવર્તિત થાય છે તેની સમજ પ્રાપ્ત કરવી છે.

1.1 રેખીય કાર્ય

રેખીય કાર્યમાં સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $y=mx+c$ હોય છે, જ્યાં $m$ ઢાળ (સ્લોપ) છે અને $c$ તે બિંદુ દર્શાવે છે જ્યાં ગ્રાફ y-અક્ષને કટ કરે છે.

ઉદાહરણ 1:

ગ્રાફ બનાવો $y=2x+3$ માટે.

ઉકેલ:

આ સમીકરણમાં, ઢાળ $m=2$ છે અને અવસ્થાન $c=3$ છે.

$y=2x+3$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0)+3$

$=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1)+3$

$=5$

$(0,3)$ અને $(1,5)$ બિંદુઓ મેળવીને ગ્રાફ બનાવો.

---

1.2 દ્વિઘાતી કાર્ય

દ્વિઘાતી કાર્યનો સામાન્ય સ્વરૂપ $y=a{x}^2+bx+c$ હોય છે. દ્વિઘાતી કાર્યોના ગ્રાફ હંમેશા “પરાબોલા”ના આકારમાં હોય છે, જેનો ઘાટ (curve) ઉપર અથવા નીચે ખૂલતો હોય છે.

ઉદાહરણ 2:

ગ્રાફ બનાવો $y=x^2–4x+3$ માટે.

ઉકેલ:

$y=x^2–4x+3$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–4(0)+3=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–4(1)+3=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–4(2)+3=-1$

$(0,3),(1,0),(2,-1)$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફ બનાવો.

---

1.3 વિસ્ફોટક કાર્ય

વિસ્ફોટક કાર્યનું સ્વરૂપ $y=a\cdot b^x$ છે, જ્યાં $a$ પ્રારંભિક મૂલ્ય છે અને $b$ વૃદ્ધિનો દર છે.

ઉદાહરણ 3:

ગ્રાફ બનાવો $y=2\cdot 3^x$ માટે.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 3^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 3^1=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 3^2=18$

બિંદુઓ $(0,2),(1,6),(2,18)$ નો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફ બનાવો.

---

100 ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 4:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=2x^2–3x+1$ માટે ગ્રાફ બનાવો.

ઉકેલ:

$y=2x^2–3x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0{)}^2–3(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1{)}^2–3(1)+1=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2{)}^2–3(2)+1=3$

$(0,1),(1,0),(2,3)$ બિંદુઓ પર ગ્રાફ દોરો.

---

ઉદાહરણ 5:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=3\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=3\cdot 2^0=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=3\cdot 2^1=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=3\cdot 2^2=12$

---

ઉદાહરણ 6:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot {1.5}^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot {1.5}^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot {1.5}^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot {1.5}^1=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot {1.5}^2=9$

બિંદુઓ $(0,4),(1,6),(2,9)$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્ફોટક કાર્યનો ગ્રાફ દોરો.

---

1.5 વધુ દ્વિઘાતી કાર્ય ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 7:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–5x+6$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–5x+6$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–5(0)+6=6$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–5(1)+6=2$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–5(2)+6=0$

$(0,6),(1,2),(2,0)$ બિંદુઓના ઉપયોગથી દ્વિઘાતી કાર્યનો પરાબોલા ગ્રાફ બનાવો.

---

ઉદાહરણ 8:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=3x^2–4x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3x^2–4x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=3(0{)}^2–4(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=3(1{)}^2–4(1)+1=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=3(2{)}^2–4(2)+1=5$

$(0,1),(1,0),(2,5)$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફ બનાવો.

---

1.6 વધુ રેખીય કાર્યોના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 9:

રેખીય કાર્ય $y=-3x+7$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=-3x+7$

જ્યારે $x=0$,

$y=-3(0)+7=7$

જ્યારે $x=1$,

$y=-3(1)+7=4$

જ્યારે $x=2$,

$y=-3(2)+7=1$

---

ઉદાહરણ 10:

રેખીય કાર્ય $y=5x–6$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5x–6$

જ્યારે $x=0$,

$y=5(0)–6=-6$

જ્યારે $x=1$,

$y=5(1)–6=-1$

જ્યારે $x=2$,

$y=5(2)–6=4$

---

1.7 વધુ વિસ્ફોટક કાર્યોના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 11:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=2\cdot 5^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 5^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 5^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 5^1=10$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 5^2=50$

---

1.8 દ્વિઘાતી કાર્યના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 12:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2+2x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2+2x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2+2(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2+2(1)+1=4$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2+2(2)+1=9$

---

1.9 વધુ રેખીય કાર્યોના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 13:

રેખીય કાર્ય $y=4x–8$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4x–8$

જ્યારે $x=0$,

$y=4(0)–8=-8$

જ્યારે $x=1$,

$y=4(1)–8=-4$

જ્યારે $x=2$,

$y=4(2)–8=0$

---

1.10 વિસ્ફોટક કાર્યના વધુ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 14:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=3\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=3\cdot 2^0=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=3\cdot 2^1=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=3\cdot 2^2=12$

---

ઉદાહરણ 15:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=2\cdot 4^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 4^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 4^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 4^1=8$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 4^2=32$

---

ઉદાહરણ 16:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=2x^2–4x+5$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2x^2–4x+5$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0{)}^2–4(0)+5=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1{)}^2–4(1)+5=3$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2{)}^2–4(2)+5=5$

---

ઉદાહરણ 17:

રેખીય કાર્ય $y=3x+2$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3x+2$

જ્યારે $x=0$,

$y=3(0)+2=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=3(1)+2=5$

જ્યારે $x=2$,

$y=3(2)+2=8$

---

ઉદાહરણ 18:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=5\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=5\cdot 3^0=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=5\cdot 3^1=15$

જ્યારે $x=2$,

$y=5\cdot 3^2=45$

---

ઉદાહરણ 19:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–6x+9$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–6x+9$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–6(0)+9=9$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–6(1)+9=4$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–6(2)+9=1$

---

ઉદાહરણ 20:

રેખીય કાર્ય $y=2x–1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2x–1$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0)–1=-1$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1)–1=1$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2)–1=3$

---

ઉદાહરણ 21:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot {1.2}^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot {1.2}^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot {1.2}^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot {1.2}^1=4.8$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot {1.2}^2=5.76$

---

ઉદાહરણ 22:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=4x^2–3x+2$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4x^2–3x+2$

જ્યારે $x=0$,

$y=4(0{)}^2–3(0)+2=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=4(1{)}^2–3(1)+2=3$

જ્યારે $x=2$,

$y=4(2{)}^2–3(2)+2=10$

---

ઉદાહરણ 23:

રેખીય કાર્ય $y=-x+4$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=-x+4$

જ્યારે $x=0$,

$y=-(0)+4=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=-(1)+4=3$

જ્યારે $x=2$,

$y=-(2)+4=2$

---

ઉદાહરણ 24:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=6\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=6\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=6\cdot 2^0=6$

જ્યારે $x=1$,

$y=6\cdot 2^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=6\cdot 2^2=24$

---

ઉદાહરણ 25:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=3x^2+2x–5$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3x^2+2x–5$

જ્યારે $x=0$,

$y=3(0{)}^2+2(0)–5=-5$

જ્યારે $x=1$,

$y=3(1{)}^2+2(1)–5=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=3(2{)}^2+2(2)–5=11$

---

1.12. વધુ વિસ્ફોટક અને દ્વિઘાતી કાર્યો

ઉદાહરણ 26:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=2\cdot 5^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 5^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 5^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 5^1=10$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 5^2=50$

---

ઉદાહરણ 27:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–7x+10$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–7x+10$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–7(0)+10=10$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–7(1)+10=4$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–7(2)+10=0$

---

ઉદાહરણ 28:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=3\cdot {1.1}^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3\cdot {1.1}^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=3\cdot {1.1}^0=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=3\cdot {1.1}^1=3.3$

જ્યારે $x=2$,

$y=3\cdot {1.1}^2=3.63$

---

ઉદાહરણ 29:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=2x^2–5x+3$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2x^2–5x+3$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0{)}^2–5(0)+3=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1{)}^2–5(1)+3=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2{)}^2–5(2)+3=-1$

---

ઉદાહરણ 30:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=5\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=5\cdot 2^0=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=5\cdot 2^1=10$

જ્યારે $x=2$,

$y=5\cdot 2^2=20$

---

ઉદાહરણ 31:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–4x+4$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–4x+4$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–4(0)+4=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–4(1)+4=1$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–4(2)+4=0$

---

ઉદાહરણ 32:

રેખીય કાર્ય $y=7x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=7x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=7(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=7(1)+1=8$

જ્યારે $x=2$,

$y=7(2)+1=15$

---

ઉદાહરણ 33:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=2\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 3^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 3^1=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 3^2=18$

---

ઉદાહરણ 34:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=3x^2–2x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3x^2–2x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=3(0{)}^2–2(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=3(1{)}^2–2(1)+1=2$

જ્યારે $x=2$,

$y=3(2{)}^2–2(2)+1=9$

---

ઉદાહરણ 35:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot 2^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot 2^1=8$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot 2^2=16$

---

ઉદાહરણ 36:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–5x+6$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–5x+6$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–5(0)+6=6$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–5(1)+6=2$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–5(2)+6=0$

---

ઉદાહરણ 37:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=5\cdot 4^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5\cdot 4^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=5\cdot 4^0=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=5\cdot 4^1=20$

જ્યારે $x=2$,

$y=5\cdot 4^2=80$

---

ઉદાહરણ 38:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=2x^2+3x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2x^2+3x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0{)}^2+3(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1{)}^2+3(1)+1=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2{)}^2+3(2)+1=15$

---

ઉદાહરણ 39:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=3\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=3\cdot 2^0=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=3\cdot 2^1=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=3\cdot 2^2=12$

---

ઉદાહરણ 40:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2+4x+4$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2+4x+4$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2+4(0)+4=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2+4(1)+4=9$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2+4(2)+4=16$

---

1.14 રેખીય, દ્વિઘાતી અને વિસ્ફોટક કાર્યોના વધુ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 41:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=7\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=7\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=7\cdot 3^0=7$

જ્યારે $x=1$,

$y=7\cdot 3^1=21$

જ્યારે $x=2$,

$y=7\cdot 3^2=63$

---

ઉદાહરણ 42:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=4x^2–3x+2$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4x^2–3x+2$

જ્યારે $x=0$,

$y=4(0{)}^2–3(0)+2=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=4(1{)}^2–3(1)+2=3$

જ્યારે $x=2$,

$y=4(2{)}^2–3(2)+2=10$

---

ઉદાહરણ 43:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot 2^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot 2^1=8$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot 2^2=16$

---

ઉદાહરણ 44:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–4x+4$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–4x+4$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–4(0)+4=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–4(1)+4=1$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–4(2)+4=0$

---

ઉદાહરણ 45:

રેખીય કાર્ય $y=7x+3$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=7x+3$

જ્યારે $x=0$,

$y=7(0)+3=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=7(1)+3=10$

જ્યારે $x=2$,

$y=7(2)+3=17$

---

ઉદાહરણ 46:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=3\cdot 5^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3\cdot 5^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=3\cdot 5^0=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=3\cdot 5^1=15$

જ્યારે $x=2$,

$y=3\cdot 5^2=75$

---

ઉદાહરણ 47:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=2x^2–3x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2x^2–3x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0{)}^2–3(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1{)}^2–3(1)+1=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2{)}^2–3(2)+1=3$

---

ઉદાહરણ 48:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=6\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=6\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=6\cdot 2^0=6$

જ્યારે $x=1$,

$y=6\cdot 2^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=6\cdot 2^2=24$

---

ઉદાહરણ 49:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=4x^2–4x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4x^2–4x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=4(0{)}^2–4(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=4(1{)}^2–4(1)+1=1$

જ્યારે $x=2$,

$y=4(2{)}^2–4(2)+1=9$

---

ઉદાહરણ 50:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=5\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=5\cdot 3^0=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=5\cdot 3^1=15$

જ્યારે $x=2$,

$y=5\cdot 3^2=45$

---

ઉદાહરણ 51:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2+2x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2+2x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2+2(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2+2(1)+1=4$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2+2(2)+1=9$

---

ઉદાહરણ 52:

રેખીય કાર્ય $y=3x–4$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3x–4$

જ્યારે $x=0$,

$y=3(0)–4=-4$

જ્યારે $x=1$,

$y=3(1)–4=-1$

જ્યારે $x=2$,

$y=3(2)–4=2$

---

1.16 વધુ વિસ્ફોટક અને રેખીય કાર્યો

ઉદાહરણ 53:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=7\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=7\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=7\cdot 2^0=7$

જ્યારે $x=1$,

$y=7\cdot 2^1=14$

જ્યારે $x=2$,

$y=7\cdot 2^2=28$

---

ઉદાહરણ 54:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=2\cdot 6^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 6^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 6^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 6^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 6^2=72$

---

ઉદાહરણ 55:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=3x^2–4x+2$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3x^2–4x+2$

જ્યારે $x=0$,

$y=3(0{)}^2–4(0)+2=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=3(1{)}^2–4(1)+2=1$

જ્યારે $x=2$,

$y=3(2{)}^2–4(2)+2=6$

---

ઉદાહરણ 56:

રેખીય કાર્ય $y=4x+5$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4x+5$

જ્યારે $x=0$,

$y=4(0)+5=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=4(1)+5=9$

જ્યારે $x=2$,

$y=4(2)+5=13$

---

ઉદાહરણ 57:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=5\cdot {1.5}^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5\cdot {1.5}^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=5\cdot {1.5}^0=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=5\cdot {1.5}^1=7.5$

જ્યારે $x=2$,

$y=5\cdot {1.5}^2=11.25$

---

ઉદાહરણ 58:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=2x^2–7x+3$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2x^2–7x+3$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0{)}^2–7(0)+3=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1{)}^2–7(1)+3=-2$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2{)}^2–7(2)+3=-1$

---

ઉદાહરણ 59:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot 3^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot 3^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot 3^2=36$

---

ઉદાહરણ 60:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2+5x+6$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2+5x+6$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2+5(0)+6=6$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2+5(1)+6=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2+5(2)+6=20$

---

1.18 વધુ વિસ્ફોટક અને રેખીય કાર્યો

ઉદાહરણ 61:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=3\cdot 4^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3\cdot 4^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=3\cdot 4^0=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=3\cdot 4^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=3\cdot 4^2=48$

---

ઉદાહરણ 62:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=2x^2–6x+5$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2x^2–6x+5$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0{)}^2–6(0)+5=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1{)}^2–6(1)+5=1$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2{)}^2–6(2)+5=1$

---

ઉદાહરણ 63:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=2\cdot 5^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 5^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 5^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 5^1=10$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 5^2=50$

---

ઉદાહરણ 64:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–3x+2$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–3x+2$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–3(0)+2=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–3(1)+2=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–3(2)+2=0$

---

ઉદાહરણ 65:

રેખીય કાર્ય $y=-x+5$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=-x+5$

જ્યારે $x=0$,

$y=-(0)+5=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=-(1)+5=4$

જ્યારે $x=2$,

$y=-(2)+5=3$

---

ઉદાહરણ 66:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=6\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=6\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=6\cdot 2^0=6$

જ્યારે $x=1$,

$y=6\cdot 2^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=6\cdot 2^2=24$

---

ઉદાહરણ 67:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=3x^2–4x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3x^2–4x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=3(0{)}^2–4(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=3(1{)}^2–4(1)+1=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=3(2{)}^2–4(2)+1=5$

---

ઉદાહરણ 68:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot 3^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot 3^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot 3^2=36$

---

ઉદાહરણ 69:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2+4x+3$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2+4x+3$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2+4(0)+3=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2+4(1)+3=8$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2+4(2)+3=15$

---

ઉદાહરણ 70:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=3\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=3\cdot 2^0=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=3\cdot 2^1=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=3\cdot 2^2=12$

---

1.20 વધુ વિસ્ફોટક અને દ્વિઘાતી કાર્યો

ઉદાહરણ 71:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=7\cdot 4^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=7\cdot 4^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=7\cdot 4^0=7$

જ્યારે $x=1$,

$y=7\cdot 4^1=28$

જ્યારે $x=2$,

$y=7\cdot 4^2=112$

---

ઉદાહરણ 72:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=5\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=5\cdot 3^0=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=5\cdot 3^1=15$

જ્યારે $x=2$,

$y=5\cdot 3^2=45$

---

ઉદાહરણ 73:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=2x^2–5x+2$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2x^2–5x+2$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0{)}^2–5(0)+2=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1{)}^2–5(1)+2=-1$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2{)}^2–5(2)+2=0$

---

ઉદાહરણ 74:

રેખીય કાર્ય $y=-2x+3$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=-2x+3$

જ્યારે $x=0$,

$y=-2(0)+3=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=-2(1)+3=1$

જ્યારે $x=2$,

$y=-2(2)+3=-1$

---

ઉદાહરણ 75:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot 2^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot 2^1=8$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot 2^2=16$

---

ઉદાહરણ 76:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=3x^2–4x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3x^2–4x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=3(0{)}^2–4(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=3(1{)}^2–4(1)+1=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=3(2{)}^2–4(2)+1=5$

---

ઉદાહરણ 77:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=2\cdot 5^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 5^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 5^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 5^1=10$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 5^2=50$

---

ઉદાહરણ 78:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–4x+3$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–4x+3$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–4(0)+3=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–4(1)+3=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–4(2)+3=-1$

---

ઉદાહરણ 79:

રેખીય કાર્ય $y=2x–3$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2x–3$

જ્યારે $x=0$,

$y=2(0)–3=-3$

જ્યારે $x=1$,

$y=2(1)–3=-1$

જ્યારે $x=2$,

$y=2(2)–3=1$

---

ઉદાહરણ 80:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=3\cdot 4^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3\cdot 4^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=3\cdot 4^0=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=3\cdot 4^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=3\cdot 4^2=48$

---

1.22 વધુ વિસ્ફોટક અને રેખીય કાર્યો

ઉદાહરણ 81:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=6\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=6\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=6\cdot 2^0=6$

જ્યારે $x=1$,

$y=6\cdot 2^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=6\cdot 2^2=24$

---

ઉદાહરણ 82:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot 3^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot 3^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot 3^2=36$

---

ઉદાહરણ 83:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–2x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–2x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–2(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–2(1)+1=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–2(2)+1=1$

---

ઉદાહરણ 84:

રેખીય કાર્ય $y=5x+2$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5x+2$

જ્યારે $x=0$,

$y=5(0)+2=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=5(1)+2=7$

જ્યારે $x=2$,

$y=5(2)+2=12$

---

ઉદાહરણ 85:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=2\cdot 4^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 4^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 4^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 4^1=8$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 4^2=32$

---

ઉદાહરણ 86:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2+3x+2$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2+3x+2$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2+3(0)+2=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2+3(1)+2=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2+3(2)+2=12$

---

ઉદાહરણ 87:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=5\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=5\cdot 3^0=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=5\cdot 3^1=15$

જ્યારે $x=2$,

$y=5\cdot 3^2=45$

---

ઉદાહરણ 88:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–6x+9$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–6x+9$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–6(0)+9=9$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–6(1)+9=4$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–6(2)+9=1$

---

ઉદાહરણ 89:

રેખીય કાર્ય $y=3x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=3(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=3(1)+1=4$

જ્યારે $x=2$,

$y=3(2)+1=7$

---

ઉદાહરણ 90:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot 2^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot 2^1=8$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot 2^2=16$

---

1.24 વધુ વિસ્ફોટક અને દ્વિઘાતી કાર્યો

ઉદાહરણ 91:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=7\cdot 4^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=7\cdot 4^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=7\cdot 4^0=7$

જ્યારે $x=1$,

$y=7\cdot 4^1=28$

જ્યારે $x=2$,

$y=7\cdot 4^2=112$

---

ઉદાહરણ 92:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=2\cdot 6^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=2\cdot 6^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=2\cdot 6^0=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=2\cdot 6^1=12$

જ્યારે $x=2$,

$y=2\cdot 6^2=72$

---

ઉદાહરણ 93:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=4x^2–5x+1$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4x^2–5x+1$

જ્યારે $x=0$,

$y=4(0{)}^2–5(0)+1=1$

જ્યારે $x=1$,

$y=4(1{)}^2–5(1)+1=0$

જ્યારે $x=2$,

$y=4(2{)}^2–5(2)+1=3$

---

ઉદાહરણ 94:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=5\cdot 3^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5\cdot 3^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=5\cdot 3^0=5$

જ્યારે $x=1$,

$y=5\cdot 3^1=15$

જ્યારે $x=2$,

$y=5\cdot 3^2=45$

---

ઉદાહરણ 95:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2+6x+8$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2+6x+8$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2+6(0)+8=8$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2+6(1)+8=15$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2+6(2)+8=24$

---

ઉદાહરણ 96:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=3\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=3\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=3\cdot 2^0=3$

જ્યારે $x=1$,

$y=3\cdot 2^1=6$

જ્યારે $x=2$,

$y=3\cdot 2^2=12$

---

ઉદાહરણ 97:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=5x^2–3x+2$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=5x^2–3x+2$

જ્યારે $x=0$,

$y=5(0{)}^2–3(0)+2=2$

જ્યારે $x=1$,

$y=5(1{)}^2–3(1)+2=4$

જ્યારે $x=2$,

$y=5(2{)}^2–3(2)+2=12$

---

ઉદાહરણ 98:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=7\cdot 2^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=7\cdot 2^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=7\cdot 2^0=7$

જ્યારે $x=1$,

$y=7\cdot 2^1=14$

જ્યારે $x=2$,

$y=7\cdot 2^2=28$

---

ઉદાહરણ 99:

દ્વિઘાતી કાર્ય $y=x^2–4x+4$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=x^2–4x+4$

જ્યારે $x=0$,

$y=(0{)}^2–4(0)+4=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=(1{)}^2–4(1)+4=1$

જ્યારે $x=2$,

$y=(2{)}^2–4(2)+4=0$

---

ઉદાહરણ 100:

વિસ્ફોટક કાર્ય $y=4\cdot 5^x$ માટે ગ્રાફ દોરો.

ઉકેલ:

$y=4\cdot 5^x$

જ્યારે $x=0$,

$y=4\cdot 5^0=4$

જ્યારે $x=1$,

$y=4\cdot 5^1=20$

જ્યારે $x=2$,

$y=4\cdot 5^2=100$